Дополнительная. 7. Справочник по математике., М.: «Лист».,1999

7. Справочник по математике., М.: «Лист».,1999.

8. Математическая энциклопедия. М., 1977 – Т.1; 1979 – Ч.2.; 1983 Т.3.

9. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1989.

Введение в математический анализ

Понятие функции, свойства функций

Определение:Пусть даны два числовых множества X и Y. Функцией называется правило, по которому каждой переменной соответствует одно и только одно значение .

Функция обозначается или или

.

Переменная x – независимая переменная или аргумент функции; переменная y – зависимая переменная или значение функции.

Определение: Множество всех значений независимой переменной x, при которых функция существует называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение: Множество всех возможных значений зависимой переменной y называется областью значений функции и обозначается E(y).

Используют следующие способы задания функции:

1.Аналитический способ – задание функций с помощью формул. Например,

, .

2.Графический способ – задание функций с помощью графика. Например,

3.Табличный способ – задание функций с помощью таблиц.

Например,

Свойства функций приведены в таблице:

Название свойства	Определение	Графическое изображение
Нули функции	Нулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть .	y     x1x2 x3   x     Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Четность функции	Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство	y   x     Четная функция симметрична относительно оси Оу
Нечет-ность функции	Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство .	y   x     Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
	Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.	y     x
Возрас-тание функции	Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.	y     f(x2)   f(x1) x1 x2 x
Убывание функции	Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.	y     f(x1)   f(x2)     x1 x2 x
	Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает называются промежутками монотонности.	y   x2 x1x имеет 3 промежутка монотонности:
Локальный максимум	Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: .	y max     x0 x
Локаль-ный минимум	Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: .	y   min     x0x
	Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.	y max     min x1 x2 x точки локального экстремума.
Периодичность функции	Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т, если для любого х выполняется равенство .	y         0 1 2 3 x
Промжутки знакопостоянства	Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна называются промежутками знакопостоянства.	y   x1 x2 x3 x
Непрерывность функции	Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке, т.е. .	y   x
Точки разрыва	Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.	y   x0 x - точка разрыва.

Теория пределов

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемсяк а, если для любой последовательности чисел х₁, х₂, х_3, …,.х_n,… сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х₁), f(х₂),…, f(х_n)… сходится к числу А.

Предел функции в точке а обозначается

.