Определение

Разбиением множества A называется конечное или бесконечное семейство множеств A_i, i Î I таких, что:

1) " i ÎI(A_i ¹ );

2) " i,jÎI(i j Þ A_i Ç A_j = );

3) A_i = A.

Здесь I это множество значений нижнего индекса множеств разбиения. В разбиениях счетных множеств в качестве множества индексов I обычно применяется все или часть множества натуральных чисел.

Пусть A ₁,..., A _k,... - разбиение множества A. Нетрудно проверить, что отношение r на множестве A, определяемое соотношением: a r b , является отношением эквивалентности.

Следующая теорема показывает, что справедливо и обратное свойство.

ТЕОРЕМА 3.2

Всякое отношение эквивалентности на множестве A разбивает это множество на классы эквивалентных элементов.