Рассмотрим пример

В группу артистов входят певцы, танцоры и музыканты.

При этом из них:

1) 9 человек певцы, 12 - танцоры и 7 - музыканты;

2) 8 человек одновременно певцы и танцоры, 5 человек

певцы и музыканты, 6 являются танцоры и музыканты;

3) 4 человека одновременно певцы, танцоры и музыканты.

Тогда по формуле включений-исключений общее число людей в группе равно: 9 + 12 + 7 - 8 - 5 - 6 + 4 = 13.

Замечание. Справедливость формулы бинома Ньютона может быть установлена с помощью несложных комбинаторных рассуждений.

Выпишем очевидные соотношения (1 - x) ^r = (1 - x)... (1 - x) = а ₀ x ⁰ +... + а _rx^r. Очевидно, что значение коэффициента а _i определяется количеством разных произведений, в которых из i скобок в произведение включается x, а из остальных r - i скобок в произведение входит 1. Поэтому а _i = . Следовательно,

(1 - x) ^r = - x +... + (- 1) ⁱ xⁱ +...+(- 1) ^r x^r.