![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Свойства двойственных оценок для различных критериев оптимальности
Рассмотрим экономический смысл двойственных оценок (оценок оптимального плана) на примере экономико-математической задачи наилучшего использования ресурсов (в частности, фонда времени работы производственного оборудования), формулируемой с разными критериями оптимальности: максимум прибыли (вариант Р), минимум себестоимости (вариант С) и максимум выпуска продукции в заданном ассортиментном соотношении (вариант А). Рассмотрим последовательно формулировки прямых и двойственных задач для вариантов Р, С и А и проанализируем экономические свойства двойственных оценок в каждом случае. Введём обозначения:
bi (станко-час) – располагаемый фонд станочного времени по группе оборудования i; xjs (шт.) – интенсивность способа s, с помощью которого производится продукция j; pjs (руб./шт.) – прибыль от реализации единицы продукции j по способу s; Мj (шт.) – производственная программа выпуска j-й продукции; Cjs (руб./шт.) – себестоимость единицы продукции j, производимой по способу s.
Задача на максимум прибыли (max P) Прямая задача Двойственная задача
Задача на минимум себестоимости (min С) Прямая задача Двойственная задача
Задача на максимум выпуска продукции (max A) Прямая задача Двойственная задача
Введём дополнительные обозначения: k1 (шт./компл.) – количество продукции вида j в одном комплекте; Z (компл.) – общее количество выпускаемых комплектов. На основе этих обозначений условие (4.23) Обозначим через ui оценку i-гo ресурса (т.е. времени работы i-й группы оборудования) и через vj – оценку j-гo вида продукции. Единицы измерения оценок в варианте Р определяются на основе соотношения (4.15а). Исходя из единиц измерения прямой задачи Рj (руб./шт.) и (станко-час./шт.) будем иметь следующие единицы измерения оценок: ui (руб./станко-час). Это определённого вида прибыль (в руб.), приходящаяся на один станко-час работы i-й группы оборудования. В связи с отсутствием ограничений по выпуску продукции в варианте Р не будет оценок продукции. В варианте С единицы измерения оценок также определяются исходя из основных ограничений двойственной задачи (4.18а). Из Сjs (руб./шт.) вытекает, что vj (руб./шт.) – себестоимость (затраты определённого типа) в рублях на единицу продукции, с учётом же смысла показателей аijs (станко-час/шт.) оценка оборудования будет ui (руб./станко-час), что также представляет собой определённым образом преобразованную часть себестоимости продукции, отнесённую к группе оборудования i. В варианте А единица измерения оценок определяется исходя из Перейдём теперь к рассмотрению конкретных экономических свойств оценок оптимального плана. Свойство 1. Оценки как мера влияния ограничений на оптимальное значение целевой функции. В задаче Р оценка ui* (руб./станко-час) В задаче С ui* (руб./станко-час) Аналогично в задаче А оценка ui (компл./станко-час) Примечание. В данной постановке оценка vj (компл./шт.) не имеет содержательной интерпретации с точки зрения свойства 1, но если несколько переформулировать задачу (разделить обе части 4.23 на Z и умножить на kj), можно получить нелинейную оценку Wj (компл./шт.), которая покажет, как изменение количества продукции в комплекте (т.е. величины k,) повлияет на изменение общего выпуска Значение свойства 2 состоит в том, что оно позволяет выявить направления мероприятий по расшивке узких мест, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразные изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума. Точной мерой влияния ограничения на целевую функцию оценка является лишь при бесконечно малом приращении ограничения. Оценки выполняют эту функцию в достаточно широких пределах своей устойчивости. Как известно, оценки не меняют своей величины, если не меняется набор базисных переменных в оптимальном плане, тогда как значения этих переменных в плане могут изменяться.
Рисунок 4.1 – Иллюстрация изменения оценки На рисунке bi(0) – начальный лимит i-гo ресурса, которому в оптимальном плане соответствует оценка ui(0) > 0. В пределах [bi(0), bi(1)] базис оптимального плана, а следовательно, и значения ui(0) остаются неизменными. Мероприятия по изменению лимита ресурсов в этих пределах носят название малых мероприятий, их эффективность может быть точно измерена с помощью оценок. Однако при изменении лимита до величины, превышающей bi(1), оценка уменьшается вследствие существенного уменьшения дефицитности i-гo ресурса, и эффект от такого мероприятия, которое выходит за пределы устойчивости оценки ui и относится к категории больших мероприятий, может быть подсчитан лишь с помощью значений ui(0) и ui(1). Соответственно при превышении величины bi(2) ресурс становится недефицитным, его оценка обращается в нуль: ui(2) = 0. Таким образом, для малых мероприятий двойственные оценки являются точной мерой влияния ограничений на значение целевой функции, а точность определения влияния на оптимум больших мероприятий зависит от точности прогноза изменения оценки по мере уменьшения дефицитности i-гo ресурса. Свойство 2. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции. Это свойство оценок вытекает из второй теоремы двойственности. Так как для пары сопряжённых условий оптимального плана одно условие выполняется как строгое равенство, а другое – как строгое неравенство, то во всех трёх задачах дефицитный ресурс полностью используется в оптимальном плане (где В задаче Р величина ui (руб./станко-час) – это прокатная оценка оборудования. Она характеризует ограниченность фонда времени работы оборудования i, что не позволяет использовать i-e оборудование по всем без исключения направлениям, где оно может дать положительный эффект. Из-за этого приходится использовать оборудование i лишь при тех технологических способах, которые в результате решения задачи признаны наиболее эффективными с позиции общего оптимума. В результате такого рода «задалживания» оборудования в одних способах «недополучается» прибыль в других способах из-за использования менее эффективных ресурсов. Оценка ui (руб./шт.) как раз и показывает ту граничную (предельную) величину прибыли, недополученную вследствие дефицитности фонда времени работы i-й группы оборудования, которая в случае загрузки i-й группы в оптимальном плане должна быть компенсирована дополнительно получаемой прибылью. Чем выше величина оценки ui, тем острее дефицитность i-гo ресурса. Естественно, для недефицитного, не полностью загруженного оборудования ui* (руб./станко-час) = 0. В задаче С ui (руб./станко-час) также прокатная оценка оборудования, но она показывает величину «несэкономленной» себестоимости при использовании тех технологических способов, где не применяется оборудование вида i из-за «задалживания» этого оборудования при работе по другим способам. Оценка продукции vj (руб./шт.) показывает, какую часть совокупных затрат на выполнение всей производственной программы экономически оправдано относить на продукцию вида j. Если какая-либо продукция производится как побочный результат деятельности, её оценка vj* = 0 и дополнительные усилия на её производство не являются оправданными. В задаче А оценка ui (компл./станко-час) показывает, какова предельная величина недополученного выпуска продукции в заданном ассортименте (в комплектах) из-за «задалживания» дефицитного фонда времени работы оборудования i. Там, где имеется такое «задалживание», оно должно быть компенсировано дополнительным выпуском продукции. Оценка продукции vj (компл./шт.) характеризует ту часть общего выпуска продукции j в комплектах, которую можно рассматривать как вклад в достижение общей цели. Эта величина для сопутствующей (побочной) продукции также равна нулю. Таким образом, оценки ui и vj – это количественно новые показатели, экономически связывающие расход ресурса и выпуск продукции в отдельных звеньях системы (технологических способах) с общей целью системы и чётко реагирующие на степень ограниченности (дефицитности) продукции и ресурсов. Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов, технологических способов с позиций общего оптимума. Это свойство оценок вытекает из второй теоремы двойственности при применении её к соотношениям (4.10) – (4.11). В оптимальной задаче Р может быть включён лишь тот способ, для которого прибыль, недополученная из-за «задалживания» в этом способе дефицитного оборудования В задаче С общая оценка варианта, включаемого в оптимальный план, имеет вид
В правой части этого соотношения указана сумма прямых затрат cjs на продукцию j при производстве её способом s и затрат системы, возникающих из-за «задалживания» в способе дефицитных ресурсов ( Для задачи А сравнивается величина эффекта vj* (выпуск комплектов), который в оптимальном плане может быть отнесён непосредственно на продукцию j, с той суммой эффекта Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов. Это свойство вытекает из условия (4.7) теоремы 1 и позволяет в целом сопоставить и сбалансировать затраты и результаты экономической системы. При этом как затраты, так и результаты оцениваются с позиций концепции оптимального планирования с помощью соответствующих показателей. Исходя из этой концепции в широком смысле под результатом понимается вклад в достижение обшей цели системы, а под затратами – упущенные возможности достижения этой цели. В конкретных задачах такого рода соотношение «затраты – результаты» в точке оптимума (равновесие затрат и результатов) имеет различное экономическое содержание. В задаче Р смысл равенства (4.7) состоит в том, что максимум прибыли может быть обеспечен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования дефицитных ресурсов. В задаче С обеспечение минимума затрат (Zmin) связано с максимизацией чистого эффекта от использования ресурсов (Wmax), т.е. превышением суммарной оценки производимой продукции над суммарной оценкой затрат, возникающим в связи с распределением дефицитных ресурсов. В задаче А максимум выпуска комплектной продукции может быть обеспечен лишь при минимуме неиспользованных резервов, что выражается в минимальном уровне недополучаемого выпуска при распределении дефицитных ресурсов.
Date: 2015-10-18; view: 1804; Нарушение авторских прав |