Математическая модель задачи

Минимизировать

(4.35)

при условиях

, (4.36)

; (4.37)

; (4.38)

. (4.39)

Ограничения модели характеризуют:

(4.36) – балансы распределения сырья по каждому сырьевому району;

(4.37) – балансы удовлетворения потребителей в сырье в каждом пункте
производства;

(4.38) – балансы производства и распределения продукции в каждом
пункте;

(4.39) – балансы удовлетворения потребностей в готовой продукции
каждого потребителя.

В модели (4.36) – (4.39) комплексно решается проблема размещения предприятий с учётом их связей и с пунктами снабжения сырьём, и с пунктами потребления готовой продукции.

Для задачи выполнено условие баланса – всё сырьё полностью перерабатывается, спрос всех потребностей удовлетворяется.

Задача решается по методу «фиктивной диагонали». Предприятия по производству продукции на первом этапе выступают потребителями сырья, на втором – поставщиками готовой продукции. Причём их мощности определяются из решения задачи. Задача решается в таблице 4.4.

Таблица 4.4 – Метод «фиктивной диагонали»

	Пункты производства	Пункты потребления
А1	А2	...	Аm	B1	B2	…	Bn
Пункты произ- водства сырья	Q1	C11	C12		C1m	M	M		M
Q2	C21	C22	I	C2m	M	M	II	M
Qp	Cp1	Cp2		Cpm	M	M		M
Пункты произ- водства проду- кции	А1		M		M	C11’	C12’		C1n’
А2	M		III	M	C21’	C22’	IV	C2n’
Аm	M	M	M		Cm1’	Cm2’		Cmn’

Таблица 4.4 состоит из четырёх блоков. В 1-м блоке отражаются связи поставщиков сырья с перерабатывающими предприятиями. Во втором блоке – связи поставщиков сырья с потребителями готовой продукции. Поскольку потребителям необходима готовая продукция, эти связи запрещаются тарифами М → + ∞, что обеспечивает условие оптимальности для соответствующих клеток таблицы на всех этапах решения. Третий блок образуется строками и столбцами, относящимися к обрабатывающим предприятиям. Продукция перевозится потребителю, а не другому обрабатывающему предприятию, поэтому связи предприятий друг с другом блокируются запретительными тарифами М. При любом расположении блоков в таблице такие клетки будут представлять диагональ соответствующего блока. Ставя здесь нулевые тарифы, мы «разрешаем» сюда поставки, они будут означать размер неиспользованной мощности соответствующего предприятия. Поскольку на самом деле поставки, указанные в этой диагонали, не осуществляются, они фиктивные, а сама диагональ называется фиктивной. В четвёртом блоке отражаются связи пунктов производства продукции с пунктами потребления этой продукции.

Далее задача решается по методу потенциалов. При нахождении первоначального плана заполняется 4-й блок, затем «фиктивная» диагональ, затем 1-й блок.

Если в задаче допускаются прямые связи поставщиков сырья с потребителями готовой продукции, запретительные тарифы М в соответствующих клетках третьего блока снимаются и ставятся реальные тарифы C_rj.