Расстояние от точки до прямой на плоскости

Будем предполагать, что прямая l задана нормальным уравнением A×x + B×y + C = 0, где A² + B² = 1 в декартовой системе координат.

На плоскости задана произвольная точка P(x₀; y₀) и нужно найти расстояние d(P, l) от неё до прямой l. Если провести через т. P прямую l¢ || l, то искомое расстояние будет равно d(P, l) = HH¢, где OH¢ ^ l¢, OH ^ l.

Переходим к вычислениям. Направляющие векторы прямых l и l¢ совпадают, поэтому ура­в­не­­ние прямой l¢ записывается в нор­мальном виде A×x+B×y+C¢ = 0, где C¢ находится из условия про­хождения l¢ через точку P: A×x₀+B×y₀+C¢ = 0, т.е. выполнено равенство C¢ = –(A×x₀+B×y₀ ).

При этом, H¢(–A×C¢; –B×C¢), H(–A×C; –B×C), (–A×(C¢–C); –B×(C¢–C)) и HH¢ = | | = = = |C¢ – C| = |–(A×x₀+B×y₀)–C| = = |A×x₀+B×y₀+C|.

Одновременно получена формула для расстояния d(l, l¢) между параллельными пря­мыми, заданными нормальными уравнениями A×x+B×y+C = 0 и A×x+B×y+C¢ = 0: d(l, l¢) = = |C¢ – C|.

Как изменятся формулы, если прямая задана общим уравнением A×x+B×y+C = 0 в декартовых координатах? Нормальное уравнение получается умножением общего уравнения на множитель . Следовательно, все формулы умножатся на этот множитель: d(P, l) = , d(O, l) = , d(l, l¢) = .

Подытожим все выводы в теореме:

Теорема (о расстояниях от точки до прямой и между прямыми). Пусть на плоскости даны прямая l с общим уравнением в некоторой декартовой системе координат A×x+B×y+C = 0 (A²+B² ¹ 0) и точка P(x₀; y₀ ). Тогда d(P, l) = ; в частности, если Р является началом координат О, то d(О, l) = .

Если уравнением A×x+B×y+C¢ = 0 задана вторая прямая l¢, параллельная l, то d(l, l¢) = .