Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Угол между прямыми на плоскостиПусть на плоскости заданы декартова система координат и две прямые l1 и l2 с уравнениями Ai×x+Bi×y+Ci = 0 (i = 1, 2). Если эти прямые пересекаются в одной точке, то образуется четыре угла (см. рис.), которые разбиваются на две пары равных вертикальных углов j и q и дополняют друг друга до p. Наименьший из этих углов называется углом между прямыми l1 и l2 и обозначается Ð (l1, l2 ). Ясно, что угол между прямыми всегда не превосходит . Если прямые совпадают или параллельны, то угол между ними считается равным 0. 1) через направляющие векторы: отложим от точки пересечения направляющие векторы a (–B1; A1) и b (–B2; A2). Возможны два основных расположения этих векторов (см. рис.). В первом случае Ð (l1, l2) = j = Ð( a, b ), а во втором Ð (l1, l2) = =j = p–q = p – Ð( a, b ). Таким образом, если Ð( a, b ) £ (т.е. cos Ð(a, b) ³ 0), то Ð (l1, l2) = j = Ð(a, b), cos Ð (l1, l2) = +cos Ð(a, b), а если Ð(a, b) > (т.е. cos Ð(a, b) < 0), то Ð (l1, l2) = p – j = p – Ð(a, b), cos Ð (l1, l2) = –cos Ð(a, b). В любом случае cos Ð (l1, l2) = = | cos Ð( a, b ) | и, вспоминая связь косинуса угла между векторами со скалярным произведением и его выражением через координаты, получаем Ð (l1, l2) = arc cos | cos Ð( a, b ) | = = arc cos = arc cos . Эта формула работает даже, если прямые совпадают или параллельны. В этом случае векторы a и b коллинеарны, так что величина равна 1 (проверьте!!!) и Ð (l1, l2) = arc cos 1 = 0. 2) через угловые коэффициенты: С понятием угла тесно связано понятие углового коэффициента прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости заданы две прямые l1 и l2 с уравнениями y = ki×x+bi (i = 1, 2). Тогда, как показывает рисунок (рассмотрите все возможности!!), Ð (l1, l2) = j = b – a и tgj = tg(b–a) = = и j Î [0; ]. Таким образом, получаем: Ð (l1, l2) = arc tg . Таким образом, доказана Теорема (о вычислении угла между прямыми). (1) Если прямые l1 и l2 заданы в некоторой декартовой системе координат общими уравнениями Ai×x+Bi×y+Ci = 0 (i = 1, 2), то выполнено равенство Ð (l1, l2) = arc cos . (2) Если прямые l1 и l2 заданы в некоторой декартовой системе координат уравнениями с угловыми коэффициентами y = ki×x+b (i = 1, 2), то Ð (l1, l2) = arc tg . Следствие (о перпендикулярности прямых). (1) Если прямые l1 и l2 заданы в некоторой декартовой системе координат общими уравнениями Ai×x+Bi×y+Ci = 0 (i = 1, 2), то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1×A2+B1×B2 = 0. (2) Если прямые l1 и l2 заданы в некоторой декартовой системе координат уравнениями с угловыми коэффициентами y = ki×x+b (i = 1, 2), то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1×k2 = –1. Доказательство следует из того, что j = Û cos j = 0 Û tg j = +∞.
|