Свойства скалярного произведения

1⁰. Скалярный квадрат а² = а × а вектора а равен квадрату длины вектора: а² = | a |².

Непосредственно следует из определения: а² = а × а = | a |×| а |×cos = | a |²×cos 0 = | a |² .

2⁰. Вектор нулевой тогда и только тогда, когда его скалярный квадрат равен нулю: а = 0 Û а² = 0.

В самом деле, а = 0 Û | a | = 0 Û | a |² = 0 Û а² = 0.

3⁰. Скалярное произведение векторов не зависит от порядка перемножаемых векторов: а × b = b × a.

Непосредственно следует из определения: а × b = | a |×| b |×cos = | b |×| a |×cos = b × a.

4⁰. Если a (x; y; z) и b (u; v; w) – векторы, координаты которых вычислены относительно некоторой декартовой системы координат, то а × b = x×u+y×v+z×w.

По теореме косинусов для D АВС (см. рис.) имеем: | b – a |² = | a |²+| b |²–2| a |×| b |×cos , т.е. a × b = ×{| a |²+| b |²–| b – a |²}. Если бы уже была доказана формула | c | = для вычисле­ния длины вектора c (p; q; r) по его декартовым ко­ор­динатам p, q, r, то учтя, что b – a (u–x; v–y; w–z), сразу получили бы

a × b = ×{x²+y²+z²+u²+v²+w²– –(u–x)²–(v–y)²–(w–z)²} = ×{2×(x×u+y×v+z×w)} =x×u+y×v+z×w, что и

требовалось.

Таким образом, остаётся обосновать использованную формулу для длины вектора в декартовых координатах.

Лемма (о вычислении длины вектора в декартовых координатах). Пусть c (p; q; r) – вектор, координаты которого вычислены в некоторой декартовой системе координат. Тогда | c | = .

Доказательство. Отложив вектор c = от начала координат, получим по теореме Пифагора: | c |² = OM² = OM¢ ²+MM¢ ² = OA¢ ²+OB¢ ²+ MM¢ ² = (p×OA)²+(q×OB)²+(r×OC)² = = p²×1²+q²×1²+r²×1² = p²+q²+r², что и требовалось. Лемма доказана.

5⁰. Скалярное произведение векторов линейно по обоим аргументам: ( a + b )× с = a × c + b × c, a ×( b + c ) = a × b + a × c.

В самом деле, записав векторы в координатах a (x; y; z), b (u; v; w), c (p; q; r) в некоторой декартовой системе координат, получим ( a + b )(x+u; y+v; z+w), ( b+c )(u+p; v+q; w+r) и по 4⁰ ( a + b )× с =(x+u)×p+(y+v)×q+(z+w)×r = (x×p+y×q+z×r)+(u×p+v×q+w×r) = a × c + b × c, a ×( b + c ) = x×(u+p)+ +y×(v+q)+z×(w+r) = (x×u+y×v+z×w)+(x×p+y×q+z×r) = a × b + a × c, что и требовалось.

6⁰. Скалярное произведение однородно по обоим аргументам: (l× a )× b = l×( a × b ) = a ×(l× b ).

Следует из определения: например, (l× a )× b = |l× a |×| b |×cos = |l|×| a |×| b |×sg(l)×cos = = l×( a × b ), где sg(l) – знак числа l (почему cos = sg(l)×cos ?!?).

7⁰. Если известны декартовы координаты векторов a (x; y; z) и b (u; v; w), то угол между ними можно вычислить по формуле = arccos =arc cos .

8⁰. Два вектора a (x; y; z) и b (u; v; w), координаты которых заданы в декартовой системе координат ортогональны тогда и только тогда, когда x×u+y×v+z×w = 0.

Действительно a ^ b Û a × b = 0 Û x×u+y×v+z×w = 0.

Задача. Докажите, что прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом тогда и только тогда, когда углы между его длинная диагональ AC₁ образует равные углы с рёбрами АА₁, АВ и AD.

Решение. Рассмотрим декартову систему координат, начало которой совпадает с вершиной А, а оси направлены по прилегающим к А рёбрам параллелепипеда. Если длины этих рёбер a, b, c, то A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A₁(0; 0; c), C₁(a; b; c), (a; b; c), и условия равенства углов с осями записываются в виде равенства косинусов углов между и базисными векторами i, j, k: = = = . Ясно, что эти равенства равносильны равенству длин всех рёбер параллелепипеда.

МЕТОДИКА 21. «Действия с векторами»

Структура урока:

1. Организационный момент

2. Ознакомление с целью урока

3. Проверка знаний фактического материала (формул, правил, умений)

4. Проверка умений сам-но применять знания в стандартных и измененных условиях

5. Коррекция и проверка

6. Подведение итогов.

Цели: