Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора a, b Î V₃. Если один из векторов нулевой, то считаем, по определению, что угол между ними равен 0 (радиан). Если же оба вектора не нулевые, то отло­жив их от произвольной точки А пространства Е₃, получим D АВС, величину угла при ве­ршине А которого и будем считать углом между векторами a и b и обозначать через .

Это определение нуждается в проверке корректности: необходимо убедиться, что угол не зависит от выбора точки A Î E₃. Это легко следует из того, что при откладывании векторов a, b от другой точки А¢ Î Е₃ (см. рис.) получаются параллелограммы АВВ¢А¢ и АСС¢А¢ (т.к. ~ и ~ ), а следовательно Ð BAC = Ð B¢A¢C¢ как углы с соответственно параллельными сторонами.

Величину | a |×| b |×cos Î R назовём скалярным произведением векторов а и b и будем обозначать через а × b.