Фрагмент урока на этапе усвоения понятия

Тема: Геометрическая прогрессия

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

Образовательные:

· ввести понятие геометрической прогрессии

· формировать умения решать прикладные задачи с использованием данного понятия.

Развивающие:

· развивать познавательные интересы: память, внимание, восприятие;

· развивать логическое мышление

Воспитательные:

· воспитание интереса к математике

· воспитывать отдельные качества личности: трудолюбие, аккуратность, настойчивость.

Структура урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Подготовка к изучению нового материала (5 мин)

3. Изучение нового материала (10 мин)

4. Усвоение нового материала (15 мин)

5. Постановка домашнего задания (5мин)

6. Подведение итогов урока (3 мин)

Треугольник равносторонний, со стороной 2 см.

Тема: Геометрическая прогрессия

№ 406, 407, 409, 412.

Билет № 9. «Множество и его мощность».

Множество – это неопределяемое понятие, оно является первичным. Его смысл можно понять лишь на примерах или найти слова синонимы – совокупность, набор. А, В, С, Х,У – множества, а его элементы А ={х, у, z, t}, где х А.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество В явл-ся подмножеством А, если каждый элемент мн-ва В явл-ся и элементом множества А (А В, т.е. А содержит в себе В).

Над множеством можно производить следующие действия: объединение, пересечение, разность

Множество С явл-ся объединением мн-в А и В, если оно принадлежит А или В.

(п2) A={2}, В={3,4,5} С=А В={2,3,4,5}.

Пересечением мн-в А и В наз. мн-во С, которое состоит из тех элементов, которые А и В.

(п3) A={2,3,7}, В={3,4,5} С=А В={3}.

Разностью мн-в А и В наз. мн-во С, которое состоит из тех элементов, которые А, но В.

(п4) A={2,3,7,16}, В={3,4,5,16} С=А/В={2,7}, С=В/А={4,5}.

Мн-во наз. ограниченным, если оно расположено на отрезке, т.е. /x/ к

Мн-во наз. ограниченным сверху, если x≤М.

Мн-во наз. ограниченным снизу, если : x≥m.

Мн-во наз. ограниченным сверху и снизу, если m x М.

Мн-ва бывают конечные, бесконечные (п6) и пустые (не имеют элементов и явл-ся подмножеством любого мн-ва, н/р, мн-во корней уравнения х²+4=0).

Когда имеются конечные мн-ва, то их можно сравнивать по числу элементов.

(п5) А содержит - n₁элементов и В - n₂ (n₁=n₂, n₁>n₂, n₁<n₂).

Если мн-ва бесконечны, то сравнивать их по числу элементов нельзя. В этом случае можно применить другой способ – ВОС. Два множества наз. эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, где каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого и обратно.

(п6) A={a,b,c,d,e,f}~ B={а,б,в,г,д,е}- конечные множества.

A={1,2,3,4,…,n,…}~ B={1,4,9,16,…,n²,…}- бесконечные множества (n→n²).

Бесконечные мн-ва А и В имеют одинаковую мощность или явл-ся эквивалентными, если между ними установлено ВОС ((п6) m(А)=m(В)). Мощность – это то общее, что характеризует все эквивалентные между собой мн-ва.

(п7) А~В₁, В₁ В, mА<mВ или В~А₁, А₁ А, mА>mВ.

Любое бесконечное мн-во, эквивалентное мн-ву всех натуральных чисел наз. счётным мн-вом.

(п8) N={1,2,3,4,…,n,…}~ A={1,4,9,16,…,n²,…},(n↔n²), А~N→ А – счетное мн-во.

Мощность мн-в натуральных чисел явл-ся самой маленькой для бесконечных мн-в m(A)=a. Поэтому мощность любого счётного мн-ва равна а.

Свойства счётных множеств:

1⁰ Для того чтобы мн-во А было счётным необходимо и достаточно, чтобы все его элементы могли быть представлены в виде последовательности, т.е. перенумеровать с помощью мн-ва натуральных чисел.

2⁰ Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счётное мн-во.

3⁰ Любое бесконечное подмножество счётного мн-ва также счётно.

4⁰ Объединением конечного числа счётных мн-в явл-ся счётным мн-вом.

5⁰ Объединение счётного мн-ва конечных мн-в также счётно.

6⁰ Объединение счётного мн-ва счётных мн-в также счётно.

7⁰ Если бесконечное мн-во А={a_i,k}, где a_i,k – элементы мн-ва А (i,k ),то А счётное мн-во.

8⁰ Мн-во всех рациональных чисел счётно.

Док-во: Q=Q₊ Q_{- -нейтр. эл-т} Q₊= , - рац. число (p,q ).

Q₊={a_p,q}- то по св-ву 7 это мн-во счётное Q_- - счётно Q₊ Q_- - счётно

Q – счётное мн-во.

Теорема1: Мн-во целых чисел явл-ся счётным мн-вом.

Из бесконечных мн-в нам известно счётное, но существуют другие бесконечные мн-ва – несчётные, н/р, мн-во всех действительных чисел между 0 и 1. Мн-во наз. несчётным, если оно бесконечное, но счётным не явл-ся.

Теорема2: Мн-во действительных чисел на отрезке [0;1] несчётно.

Док-во: (метод от противного)

Предположим, что мн-во всех R на [0;1] – счётно все элементы этого мн-ва можно перенумеровать с помощью мн-ва всех N чисел.

A= - счётное

Создадим число

(b₁ – любая цифра)

Число не вошло в мн-во А, т.е. предположение было неверным, т.о. мн-во А – счётно