Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Системи лінійних алгебраїчних рівняньЗа допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь моделюється переважна більшість практичних задач з економіки.
де – коефіцієнти рівняння; – невідомі рівняння; – вільні члени рівняння. Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають таку сукупність чисел, яка перетворює всі рівняння (1.14) на числові тотожності. Якщо права частина (1.14) дорівнює нулю , то систему рівнянь називають однорідною, або неоднорідною, якщо . Система рівнянь (1.14) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо не має жодного розв’язку. Складемо визначник третього порядку з коефіцієнтів систем – головний визначник системи:
Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь: 1) , тоді система (1.14) має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом; 2) , тоді система (1.14) або несумісна, або має безліч розв’язків. Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера: необхідно скласти три визначники третього порядку з головного визначника (1.15) шляхом перестановки замість 1, 2, 3–го стовпця стовпець вільних членів – це додаткові визначники
За формулами Крамера розв’язок системи рівнянь (1.14) має такий вигляд:
Метод Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: метод послідовних вилучень невідомих, запропонований Гауссом можна розглянути на прикладі системи (1.14), поділивши перше рівняння на , друге – на , третє – на , матимемо:
де . Віднявши від другого і третього рівняння перше, дістанемо
де . Поділивши перше рівняння на , а друге – на , отримаємо
Віднявши перше рівняння від другого, дістанемо
звідки
Тепер можна знайти та . Матричний метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: якщо систему (1.14) записати в матричній формі
де – матриця коефіцієнтів системи; – матриця невідомих; – матриця вільних членів.
Помножимо (1.23) на обернену матрицю . Оскільки , то дістанемо матричний спосіб розв’язування систем:
Розглянемо однорідну систему рівнянь:
Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи (1.26) можуть бути випадки: 1) , тоді система (1.26) має єдиний нульовий розв’язок, тобто ; 2) , тоді система (1.26) може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:
Нехай із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулеві, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та :
Тоді система (1.27) є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:
де , , – довільне дійсне число. Може бути випадок, коли усі три визначники системи (1.27) дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи (1.27), наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має розв’язок, що знаходять за формулами:
де – довільні дійсні числа. Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра” Завдання І. Задані матриці . Необхідно: 1. Знайти величину визначника матриці () трьома способами: а) використавши правило трикутника (правило Саррюса); б) розклавши визначник за елементами того рядка, який містить нуль; в) одержавши два нулі в будь-якому рядку і розклавши визначник по елементах цього рядка. 2. Знайти матрицю , якщо , де – одинична матриця третього порядку. 3. Знайти два можливі добутки, утворені з матриць . 4. Знайти матрицю , обернену до матриці .
Завдання ІІ. Знайти величину визначника четвертого порядку, скориставшись його властивостями та одержавши три нулі в будь-якому рядку.
Завдання ІІІ. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами: а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса; в) методом оберненої матриці.
|