Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод контурных токовЭтот метод значительно упрощает расчеты сложных цепей, так как позволяет сократить число уравнений. В соответствии с ним используется только второй закон Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи. Общие правила расчёта: 1) выбираются независимые контуры; 2) в каждом контуре предполагается наличие контурного тока, положительное направление которого указывается стрелкой произвольно. Контурный ток – это ток, нереальный, задаваемый исключительно в целях упрощения расчетов; 3) составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи; 4) реальные токи находятся как алгебраическая сумма контурных токов в данной ветви. На рис. 1.19 показана сложная система, имеющая шесть ветвей (обозначим их условно индексами а, в, ав, ас, вс, с), в которых необходимо определить токи , , , , и .
Рис. 1.19 Искомые токи в ветвях цепи должны удовлетворять системе уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Число узлов в схеме равно четырем (A, B, C и D), поэтому по первому закону Кирхгофа можно было бы написать три уравнения. Но при расчёте сложных цепей методом контурных токов этого не делается, а сразу составляются оставшиеся три уравнения по второму закону Кирхгофа. Если каждому контуру ( ) на рис. 1.19 приписывать некоторый идеализированный ток произвольно выбранного направления (I 1, I 2, I 3), называемый контурным током, то действительный ток в любом общем элементе, например резисторе, двух соединительных контуров можно рассматривать как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. Следовательно исходя из принципа наложения будем считать, что в каждом контуре протекают контурные (идеализированные) токи I 1, I 2, I 3, из которых образуются действительные (реальные) токи ветвей , , , , и . Составим уравнение для первого контура, обходя его в направлении собственного контурного тока и учитывая падение напряжения от всех контурных токов (естественно, смежных контуров), протекающих в резисторах первого контура. От тока I 1 будем иметь суммарное падение напряжения, равное I 1( + + ). По резистору проходит еще и контурный ток I 2 смежного контура в направлении, совпадающем с обходом контура , создающем падение напряжения I 2 . По резистору протекает ток I 3 так же в направлении обхода контура . Падение напряжения от этого тока равно I 3 . Поэтому уравнение для первого контура, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид: . В правой части уравнения получаем т.к. совпадает с направлением обхода контура, а имеет противоположное направление. Аналогично составим уравнение для второго и третьего контуров: ; . Члены уравнений и взяты с отрицательными знаками, так как ток I3 в резисторе противоположен по направлению обхода второго контура, а ток I2 в резисторе противоположен направлению обхода третьего контура. Сумму всех сопротивлений какого-либо контура условимся называть собственным сопротивление этого контура и обозначим двоичным индексом номера контура, например, r11 – собственное сопротивление первого контура, r22 – собственное сопротивление второго контура и т.д. В нашем случае собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров запишутся соответственно так: ; ; Или в общем случае . Сопротивления резисторов, которые одновременно входят в состав двух контуров, будем называть взаимными и считать их положительными, когда направления контуров токов в них совпадают, и отрицательными, когда направления токов противоположны, в частности: – взаимное сопротивление 1…2 контуров. В резисторе направления токов и совпадают, поэтому значение взаимного сопротивления пишем со знаком плюс и считаем его положительным; – взаимное сопротивление 2…3 контуров. Токи и в резисторе направлены противоположно, соответственно значение взаимного сопротивления берется со знаком минус и считается отрицательным; – взаимное сопротивление 1…3 контуров. Токи и в резисторе направлены одинаково, и его можно считать положительным. В общем случае можно написать , что выражает очевидные равенства взаимных сопротивлений резисторов контуров m и i. Алгебраическую сумму всех ЭДС, действующих в каком-либо контуре, будем называть контурной ЭДС: – контурная ЭДС первого контура. – контурная ЭДС второго контура. – контурная ЭДС третьего контура. Или в общем виде для к-го контура . В результате система уравнений для схемы на рис. 1.19 примет вид: Для сложной цепи из n контуров может быть написана в общем виде система из n уравнений: Полученная система уравнений является математической формулировкой метода контурных токов. Так как число контурных токов определяется количеством контуров и всегда меньше числа токов в ветвях, то применение метода контурных токов уменьшает число неизвестных величин в решаемой системе уравнений, что в значительной степени упрощает анализ сложных электрических цепей. Приведенную сумму уравнений можно переписать в более удобном виде: или в матричных обозначениях RI=E: R=[rij] – матрица сопротивлений (квадратная матрица, т.к. число строк и столбцов равно n, т.е. n x n); I=[Ij] – матрица токов [nx1]; E=[Ei] – матрица ЭДС [nx1]. Решая эти уравнения относительно любого контура тока Ik известными математическими методами, получим где – главный определитель матрицы сопротивлений; – алгебраическое дополнение, получаемое при вычеркивании в главном определители m-й строки и k-го стобца и умножении полученного определителя (минора) на (-1)m+k, , где – минор элемента , т.е. определитель квадратичной матрицы, полученной из R вычеркиванием m-ой строки и k-го столбца. В общем случае матрица сопротивлений запишется: . Главный определитель квадратичной матрицы R находится с помощью разложения Лапласа: где – общепринятая в математике запись определителя матрицы R. Запишем решение системы уравнений для частного примера на рис. 1.19 в общем виде: Алгебраическое дополнения определителя: Вычислив значение контурных токов определим действительные значения токов во всех ветвях. Ток в каком-либо резисторе равен алгебраической сумме контурных токов. При этом положительным считается такой контурный ток, который в данном резисторе совпадает по направлению с результирующим током. Так, для нашего примера имеем:
|