Обобщенные координаты системы

Пусть система состоит из точек и, следовательно, ее положение в пространстве в каждый момент времени определяется координатами точек системы, например декартовыми .

Предположим, что на систему наложены голономные связи, уравнения которых в общем случае могут содержать и производные от координат точек, но после их интегрирования они свелись к геометрическим и имеют форму

, . (ПИ.4)

Освобождающие связи, выражающиеся неравенствами, не рассматриваются. Таким образом, координат связаны уравнениями и независимых координат будет .

Любые декартовых координат можно задать независимо друг от друга. Остальные координаты определятся из уравнений связей. Вместо независимых декартовых координат можно выбрать любые другие независимые параметры , зависящие от всех или части декартовых координат точек системы. Эти независимые параметры, определяющие положение системы в пространстве, называются обобщенными координатами системы. В общем случае они могут зависеть от всех декартовых координат точек системы, т. е.

, (ПИ.5)

где изменяется от 1 до . Задание обобщенных координат полностью определяет положение точек системы относительно выбранной системы отсчета, например декартовых осей координат.

Соответственно, для радиуса-вектора каждой точки системы , получим

. (ПИ.6)

В случае стационарных связей время явно не входит в уравнения связей. Для голономных систем вектор возможного перемещения точки в соответствии с (ПИ.6) можно выразить в форме

. (ПИ.7)

Система, имеющая независимых обобщенных координат, характеризуется также независимыми возможными перемещениями или вариациями , если связи голономны. Для голономных систем число независимых возможных перемещений совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т. е. .