Електричний диполь. Поле диполя

Спочатку введемо поняття, так що ж собою являє диполь (подвійний полюс, або два полюси)?

Електричним диполем будемо називати два рівні за величиною і протилежні за знаком заряди, які знаходяться на фіксованій відстані один від одного.

Подібні системи утворюються в діелектриках, які знаходяться в електричному полі.

Кількісною характеристикою диполя є момент диполя, або дипольний момент. Вводиться він наступним чином. Виберемо вектор , направлений від від’ємного заряду до додатного. Дипольний момент є векторною величиною, яка вводиться як

.

Кожен із зарядів диполя безумовно створює своє електричне поле. Поле двох різнойменних зарядів наведено на рисунку. Знайдемо електричне поле диполя як фізичного об’єкта.

У довільній точці * два заряди диполя створюють потенціал

,

де відстані від зарядів диполя до вибраної точки, – різниця відстаней від зарядів диполя до точки. Будемо розв’язувати задачу для випадку, коли вибрана точка знаходиться достатньо далеко від диполя, тобто

.

Тоді

, а .

В цьому випадку

,

де є за означенням дипольним моментом. Домноживши чисельник і знаменник на , маємо

.

Вираз у чисельнику є скалярним добутком, отже остаточно вираз для потенціалу переписуємо у вигляді

,

де визначає відстань диполя від вибраної точки, а напрямок орту задає взаємне розташування дипольного моменту і напрямку на вибрану точку.

Для того щоб знайти вектор напруженості поля диполя, достатньо скористуватися співвідношенням

.

Знайдемо кожний доданок окремо. Якщо початок координат сумістити з диполем, можна перейти до декартової системи координат:

Остаточно вираз для поля диполя має вигляд

.

Часто буває зручно користуватися іншою формулою, яка по суті нічим не відрізняється від наведеної. Знову ж таки будемо розв’язувати задачу для великих відстаней від диполя.

Поле диполя симетричне відносно його осі, тому скористаємось циліндричною системою координат. Вибрану довільну точку *, у якій ми шукаємо поле диполя, будемо характеризувати відстанню від диполя до точки і кутом між напрямком на точку і дипольним моментом.

Розкладемо вектор напруженості електричного поля у заданій точці на дві складові – вздовж радіус-вектора і перпендикулярну до нього . Очевидно, що

,

а орієнтація вектора відносно радіус-вектора задається кутом , для якого

.

Таким чином, визначивши і , будемо знати величину і орієнтацію вектора .

Скористаємось отриманим раніше виразом для потенціала диполя

.

Оскільки , продиференціюємо потенціал у циліндричній системі координат. Відомо, що градієнт це – похідна за напрямком. Тоді у напрямку радіус-вектора

,

а у напрямку, перпендикулярному до радіусу, приріст відстані становитиме , оскільки відстані у нас великі, а прирости малі, тому

.

Звідси можемо знайти

; .

Отже, задавши дипольний момент і координати довільної точки (її радіус-вектор і кут між радіус-вектором і напрямком вектора напруженості електричного поля), можемо знайти поле диполя в цій точці

; .