![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Приклади обчислення ємності
(Калашников, Сивухин)
При всіх розрахунках ємності будемо користуватись означенням ємності
Ємність плаского конденсатора. Отримали його вище.
Ємність ізольованої кулі. Потенціал кулі зовні співпадає із потенціалом точкового заряду.
Ємність сферичного конденсатора.
Ємність циліндричного конденсатора (коаксиал).
Ємність двопровідної лінії. Дві тонкі провідні лінії радіусом
де
Звідси ємність
оскільки
Енергія електричного поля, її локалізація в просторі
Давайте домовимось, що для системи заряджених тіл будемо розрізняти три типи потенціальної енергії: власна енергія кожного із тіл Уявимо собі такий процес. Беремо систему незаряджених тіл, розносимо їх на велику відстань одне від одного, а потім заряджаємо кожне з них. При зарядженні ми виконуємо роботу
Отже, із загальних міркувань, сумарна власна енергія Тепер будемо зближувати заряджені тіла до тієї відстані, на якій вони знаходяться в конкретній задачі. Для цього також необхідно виконати роботу, однак її знак може бути як додатним, так і від’ємним. Дійсно, зближуючи два однаково заряджених тіла, ми виконуємо від’ємну роботу Спочатку будемо визначати взаємну енергію зарядів.
Заряд А якщо віддаляється не одиничний заряд? Робота становитиме
Можна закріпити
де
тому
або, позначивши
Ми отримали вираз для взаємної енергії двох точкових зарядів. Зверніть увагу на двійку у знаменнику. З нею ви зустрінетесь і у системі багатьох зарядів. Кожен із доданків сам по собі вже є енергією взаємодії. Ми могли виразити її через будь-який з них. Але двійка потрібна для того, щоб кожну пару зарядів враховували лише раз, а не два рази. Це буде актуально у наступній задачі.
2. Перейдемо до системи багатьох точкових зарядів. Нехай маємо Для двох зарядів
енергія i –го заряду в полі інших
взаємна енергія системи
Ось і виліз коефіцієнт 1/2, щоб запобігти подвійному підсумовуванню, оскільки
Перепишемо енергію у вигляді
Введемо позначення Це потенціал, який створюється усіма зарядами, крім енергію системи точкових зарядів.
їх взаємна енергія
Взаємна енергія всієї системи визначається інтегруванням по всьому об’єму, і тут так само треба унеможливити подвійне інтегрування множником
По аналогії із тим, як ми вводили потенціал для системи точкових зарядів, введемо
Це потенціал, який створюється всім об’ємом в елементарному об’ємі 1. Тоді
або позбавившись індексів
Заряд може бути розподіленим на площині або вздовж лінії. Для них енергія виглядатиме, відповідно
де Ми отримали вирази для енергії для різних випадків. Що у них є спільного? Входить заряд (або його густина) та потенціал, створений у точці розташування заряду. Тепер ми однозначно можемо визначити знак взаємної енергії. Очевидно, що у випадку однойменних зарядів Крім того, отриманий вираз (*) дозволяє зробити висновок про локалізацію енергії. Де знаходиться енергія? Формула свідчить – там, де є заряд.
Візьмемо поле плаского конденсатора. Задача добре знайома і зручна. Площа пластин його Пластини заряджені із поверхневою густиною заряду
Інтегрування було непотрібне, оскільки
З іншого боку, поле плаского конденсатора
де являє собою енергію, що припадає на одиницю об’єму конденсатора. Тобто ми можемо ввести поняття об’ємної густини енергії електростатичного поля
тобто це енергія одиниці об’єму. Провівши аналогічні обчислення в системі СІ, де
отримаємо
Тоді об’ємна густина енергії
Навіщо нам було розглядати цей частинний випадок? А він виявляється дуже для нас корисним у подальшому.
Повна енергія системи є інтегралом по об’єму
Отже, отриманий зв’язок між густиною енергії і напруженістю електростатичного поля є універсальним, оскільки будь-яке поле можна уявити як систему пласких конденсаторів між еквіпотенціальними поверхнями, по яких треба інтегрувати. Тобто отриманий у частинному випадку для плаского конденсатора результат можна розповсюдити на довільне електростатичне поле. Тепер зверніть увагу, ми тут не розділяємо, про яку енергію йде мова. У випадку конденсатора ми шукали повну енергію. Оскільки знакозмінною величиною тут є тільки напруженість електричного поля, а вона входить у формулу у квадраті, то повна енергія системи є додатньою величиною Зупинимось на фізичному змістові отриманого рівняння (**) для енергії. Вираз пов’язує енергію з вектором напруженості електричного поля. Енергія локалізована повсюди, де є електростатичне поле.
Отже, ми одержали два вирази для повної енергії електростатичного поля:
Ці вирази еквівалентні, тому що одержані одне з одного. Однак, фізичний зміст, закладений в них, різний. Перший вираз зумовлює інтегрування по тій області простору, де присутній заряд Другий вираз пов’язує енергію з вектором напруженості електричного поля. Енергія знаходиться повсюди, де є поле. В електростатиці можна користуватися будь-яким з цих виразів.
Так, наприклад, сподіваюсь, на семінарах ви будете розв’язувати таку задачу. Є рівномірно заряджена з об’ємною густиною За першим виразом енергія локалізована тільки всередині кулі і інтегрувати треба лише по об’єму кулі. За другим виразом енергія знаходиться як всередині, так і зовні кулі, тому що поле є і при
Оскільки питання про еквівалентність цих виразів є принциповим, покажемо це строго (Фейнмановские лекции по физике, т.5). Візьмемо вираз для енергії у вигляді і скористуємось рівнянням Максвелла
Підставимо густину заряду у вираз для енергії
Перетворимо окремо вираз
Скористаємось штучним прийомом (використовували і у молекулярній фізиці)
Тоді для всіх трьох координат
Остаточно, згорнувши добре відомі вирази, маємо
Підставимо під знак інтегралу
Розглянемо спочатку другий доданок. Застосуємо до нього формулу Остроградського
Інтегрування повинно проводитись по всьому простору. Як залежать множники під інтегралом від відстані? При значних розмірах простору заряджене тіло можна розглядати як точкове:
Інтеграл буде обернено пропорційний відстані. При інтегруванні по всьому простору Скористаємось тим, що
що й треба було довести. Із одного з виразів для енергії ми отримали другий. Отже, в електростатиці обидва вирази для енергії еквівалентні, ними обома можна користуватись. Однак, коли ми переходимо до змінних електричних полів, єдиним правильним виразом є вираз
Тепер, користуючись отриманим рівнянням (**), ми можемо повернутись до енергії поля точкового заряду. Поле точкового заряду задля різноманітності візьмемо у системі СІ
Тоді об’ємна густина енергії становитиме
Для інтегрування виберемо елементарний об’єм у вигляді сферичного шару
Звідси маємо вираз для повної енергії поля точкового заряду
А ось тут вже починаються фокуси. Підстановка верхньої межі не викликає складнощів, відповідний доданок буде дорівнювати нулю. Але оскільки заряд у нас точковий, тобто не має розміру, то інтегрувати треба від нуля. Виходить така нісенітниця, що енергія точкового заряду є нескінченною. До речі, цей же результат можна отримати, спрямувавши до нуля радіус рівномірно зарядженої кулі Ми змушені прийти до висновку, що уявлення про те, що енергія локалізована у місцях існування електростатичного поля не узгоджується з уявленнями про існування точкових зарядів. Один із шляхів подолання цієї проблеми – вважати елементарні заряди не точками, а невеликими зарядженими областями. Інший – вважати некоректною нашу теорію електрики на малих відстанях. Можна придумати ще варіанти. Але всі ці шляхи все одно приводять до певних утруднень, які досі ще подолати не вдалось.
Зв’язок енергії електростатичного поля з пондеромоторними силами
Давайте згадаємо, як ми вводили поняття напруженості електростатичного поля. Це було відношення сили, що діє на пробний заряд, до величини даного заряду Причиною виникнення пондеромоторних сил є електричні заряди, які надаються тілам. Але це надання заряду ускладнюється виникненням поляризаційних зарядів та пружних деформацій у провідниках і діелектриках. Розрахунок пондеромоторних сил з одночасним дослідженням механізму їх виникнення є достатньо складною задачею.
Візьмемо плаский конденсатор з пластинами площею
З іншого боку, за першим началом термодинаміки (або законом збереження енергії) виконана робота дорівнює зміні енергії із протилежним знаком, тобто
При зміні відстані між пластинами при фіксованій напрузі на конденсаторі зміниться його ємність. Тоді виберемо вигляд для енергії плаского конденсатора у вигляді
Ємність плаского конденсатора
Отже, вираз для роботи набуває вигляду
Порівнявши вирази для роботи через силу та через енергію, маємо вираз для пондеромоторної сили (сили взаємодії пластин)
Сила залежить від розмірів конденсатору (площа пластин, відстань між ними) і прямо пропорційна квадрату прикладеної до пластин напруги. Давайте скористаємось тим, що для однорідного електростатичного поля в конденсаторі
А що таке
Подивіться на останню формулу. Маємо, що сила прямо пропорційна площі. А що звичайно є коефіцієнтом пропорційності між силою і площею (згадайте молекулярну фізику)? Тиск. Тобто з одного боку
Абсолютний вольтметр
Абсолютний вольтметр являє собою важільні терези, на одну чашу яких можна покласти вантаж масою Подавши на конденсатор вимірювану різницю потенціалів
звідки знаходимо напругу
Красива ідея? Чому ж ми її не використовуємо? Тому, що конструкція абсолютного вольтметру дозволяє проілюструвати ще одну особливість електростатичного поля. Легко переконатись, що рівновага, яку можна отримати в цьому вольтметрі, не є стійкою: достатньо пластинам конденсатору зблизитись за рахунок малих коливань або флуктуації Як бачите, конструкція дуже проста, ідея красива, а використовувати – дзуськи. З технічної точки зору це утруднення можна усунути, якщо поставити два обмежувача та фіксувати вагу, яка переводить важіль терезів від одного обмежувача до другого. Момент відриву важеля від обмежувача можна вважати станом рівноваги. Але чомусь цим шляхом не йдуть, використовуючи зовсім неабсолютні вольтметри.
Date: 2015-09-24; view: 373; Нарушение авторских прав |