Знаходження розподілу потенціалу методом функцій комплексної змінної

Другим штучним методом знаходження розподілу електростатичного поля є метод комплексної змінної. Найкраще він розписаний у т.5 Фейнманівських лекцій із фізики. Цей метод має певні обмеження. Ним можна розв’язувати задачі:

- двовимірні;

- за відсутності об’ємного заряду .

Введемо комплексну величину ксі

,

де дійсна частина комплексного числа, уявна частина, уявна одиниця. Кожній точці на площині відповідає комплексне число (ксі). Якщо перейти від декартової до полярної системи координат, то комплексне число набуде вигляду

,

де

, .

За допомогою введеної комплексної величини ми можемо записувати звичайні математичні функції, наприклад:

;

;

;

.

В останньому випадку щоб позбавитись уявної одиниці у знаменнику, чисельник і знаменник домножили на комплексно спряжене число .

Тобто будь-яку функцію комплексну можна записати у вигляді дійсної і уявної частин, кожна з яких буде функцією :

,

де дійсні функції. Отже, із кожної комплексної функції можна отримати дві нові дійсні функції. Наприклад,

; ; .

Умова диференційовності комплексної функціїнаступна.

Для того, щоб комплексна функція , визначена у деякій області була диференційовною у точці цієї області, необхідно і достатньо, щоб функції також були диференційовні у цій же точці і, крім того, щоб виконувались рівняння Коші-Римана:

.

Продиференціюємо рівняння Коші-Римана вказаним чином і додамо їх почленно

.

Тепер продиференціюємо їх інакше і віднімемо почленно

.

Ми отримали нову систему рівнянь

.

Власне, що це означає? Обидві функції задовольняють двовимірному рівнянню Лапласа. А це в свою чергу означає, що кожна із цих функцій є деяким електростатичним потенціалом.

Ось ми й прийшли до магічного слова “потенціал”. Тобто, якщо ми покладемо , ми отримаємо еквіпотенціальні поверхні (оскільки у нас задача двовимірна, то ми отримаємо еквіпотенціальні лінії). Надаючи константі різних значень, ми отримаємо сімейство еквіпотенціальних ліній. Вибравши дві з них у якості контактів, ми практично розв’язали задачу. Маючи розподіл потенціалу, ми за відомим співвідношенням знаходимо і розподіл напруженості електричного поля.

А крім того, у нас залишилась ще функція . Чом би не припустити, що лінії і є силовими лініями поля.

Якщо ми покажемо, що лінії та взаємно перпендикулярні, то доведемо, що лінії є силовими лініями.

Уявимо дотичні до обох кривих у точці перетину. Нехай кут нахилу кривої , а кривої . Кути відраховуються від осі абсцис в одному і тому ж напрямку (проти годинникової стрілки – додатній напрямок). Тоді

.

Отримана умова

є умовою ортогональності. (Справді, якщо вони ортогональні, то кути нахилу дотичних до еквіпотенціальних ліній та силових ліній становитимуть та . Тоді ).

Отже, отримані таким методом функції є

.

Пам’ятаєте, на початку я сказала, що цей метод теж є штучним, як і метод електричних зображень. Власне, в чому штучність цього методу? Напридумуємо силу-силенну різних функцій, розрахуємо для них силові лінії і еквіпотенціальні поверхні. А потім будемо шукати, до якої задачі підходить цей розв’язок. Хоч це підхід до задачі задом наперед, але він є цілком припустимим.

Давайте розглянемо його на конкретних прикладах. Суцільними лініями будемо позначати еквіпотенціальні поверхні , а пунктиром – силові лінії .

1. . Будуємо поверхні .

Ми отримали поле плоского конденсатора. Звичайно, таку просту задачу немає сенсу розв’язувати таким складним методом, але тут ми його використали як ілюстрацію.

2. . Будуємо поверхні .

Рівняння є рівнянням прямокутної гіперболи. Змінюючи константу, отримаємо ціле сімейство гіпербол. При гіперболи будуть дивитись ліворуч та праворуч, при – вниз та вгору, при гіперболи виродяться у бісектриси координатних осей.

Такий розподіл еквіпотенціальних поверхонь (ліній) може бути розв’язком кількох задач. Наприклад, чотири точкових заряди, або чотири стрижневих електроди, що паралельні один одному.

Щоб не склалось у вас уявлення про абстрактність такого методу, скажу, що реальним застосуванням такої конструкції є квадрупольна лінза, що широко застосовується у масспектрометрії. В ній використовуються чотири гіперболічних електроди.

3. . Потенціальними функціями будуть . Не будемо детально на них зупинятись, тільки наведемо побудови. Еквіпотенціальними поверхнями є концентричні кола, силовими лініями – радіальні лінії. Це задача про поле зарядженої нитки.

4. . Будуємо еквіпотенціальні поверхні за системою . Це задача про дві паралельні нескінченні лінії, розташовані на нескінченно малій відстані біля початку координат, або поле диполя у двовимірному варіанті.

І останнє зауваження до цієї теми. Якщо задачу не вдається розв’язати цими двома методами (методом електричних зображень та методом функції комплексної змінної), то треба розв’язувати рівняння Пуассона (Лапласа) у загальному вигляді, або наближено, або чисельно.