Уравнение Шредингера, волновая функция электронов в атоме

ВОПРОС: Описание движения электронов в атоме методом квантовой механики.

Уравнение Шредингера, волновая функция электронов в атоме

Описать движение электронов в атоме с позиций классической механики и электродинамики невозможно, так как заряженная частица, двигающаяся по кругу, должна излучать электромагнитные волны, терять энергию и падать на ядро. В 1912 г. датский физик Н. Бор предложил решить эту проблему, выделив для электронов так называемые стационарные орбиты, двигаясь по которым, электрон не излучает энергию. Излучение может происходить лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую. Со временем появились новые гипотезы, позволившие более точно представить движение электронов. Матричная механика немецкого физика-теоретика В. Гейзенберга описывала электрон как частицу, а волновая механика австрийского физика-теоретика Э. Шрёдингера - как волну. Эти теории были объединены в квантовой механике, которая в применении к химическим объектам получила свое развитие в квантовой химии. Квантовомеханическая теория строения атома рассматривает атом как систему микрочастиц, не подчиняющихся законам классической механики. Первые ядерные модели строения атома были похожи на строение Солнечной системы. Однако описать движение электрона так же, как описывается движение планет, оказалось невозможным. С точки зрения квантовой механики, можно говорить лишь об определенном состоянии атома, характеризующемся некоторой энергией, которая, в соответствии с принципом дискретности, может измениться только при переходе атома из одного такого состояния в другое. Кроме того, квантовая механика допускает, что электроны в атоме могут вести себя и как частицы, и как волны (принцип корпускулярно-волнового дуализма). И, наконец, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, невозможно определить траекторию движения электронов в атоме. В настоящее время благодаря методам квантовой механики известно электронное строение всех существующих видов атомов. Атом элемента описывается определенной электронной конфигурацией (электронной формулой), зная которую, можно сделать предположения о химических свойствах этого элемента.

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году.

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.

Уравнение Шредингера в общем виде (общий случай)

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θ ψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

Следовательно,

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():−(ћ²/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(

),где Δ – лапласиан.