Примеры на вычисление работы

Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы. При этом будем использовать явное выражение для сил взаимодействия между телами.

Работа упругой силы. Пусть тело движется вдоль оси x под действием упругой силы . Знак минус означает, что сила упругости направлена к положению равновесия тела. Пусть тело под действием этой силы переместилось из точки с координатой в точку с координатой (рис. 3.7). Найдем работу силы . Как было показано ранее, работу можно определить графическим методом: численно она равна площади под кривой, описывающей зависимость силы от координаты. В рассматриваемом случае это площадь трапеции, с основаниями, равными и , и высотой, равной (рис. 3.8). Следовательно,

.

(3.7)

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Таким образом, работа силы упругости зависит только от величины деформации пружины, определяемой начальной и конечной длиной пружины. От формы траектории, по которой движется тело, работа не зависит. Действительно, при перемещении тела перпендикулярно оси пружины, когда ее длина не меняется, работа равна нулю, так как при этом сила перпендикулярна перемещению.

Рис. 3.9

Работа силы тяжести. Пусть тело движется под действием силы тяжести (рис. 3.9). Запишем эту силу в виде , где – орт вертикальной оси , положительное направление которой выбрано вверх. Элементарная работа силы тяжести на перемещении будет равна

.

Так как , то . Работа же этой силы на всем перемещении от точки 1 до точки 2 равна

.

(3.8)

При движении тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу. Если тело движется вниз, работа положительная. Работой силы, действующей на Землю со стороны тела, можно пренебречь, так как перемещение Земли ничтожно мало из-за ее огромной массы.

Итак, работу силы тяжести можно представить в виде разности двух значений величины, зависящей от взаимного расположения тела и Земли. Из (3.8) видно, что работа силы тяжести зависит только от изменения координаты тела относительно поверхности Земли, но не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении.

Рассмотренные нами силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из соотношений (3.7) – (3.8), не зависит от формы траектории между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Этот результат оказывается справедливым не только для рассмотренных сил тяжести и упругости, но и для любых других сил, зависящих от расстояний между взаимодействующими телами, но не зависящих от их скоростей. Это весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы траектории между ними.