Уравнения динамики. Уравнение неразрывности среды и уравнение движения

Фундаментальным законом ньютоновской механики является закон сохранения массы . Следствием этого закона является уравнение неразрывности среды . Действительно, если (dΩ_Е – элементарный объем окрестности материальной частицы в произвольный момент времени) представить в виде (Ω – объем тела М) и подставить в , то используя для произвольного объема Ω из получим уравнение неразрывности в эйлеровых координатах. В лагранжевых координатах уравнение неразрывности также получается из закона сохранения массы.

Воспользуемся соотношением . После преобразования переменных в правом интеграле получим .

Отсюда с помощью и для произвольного объема Ω получаем уравнение . Рассмотрим частные виды уравнения неразрывности среды.

Первому виду соответствует уравнение и (уравнение несжимаемости сполошной среды). Физически этим уравнениям соответствует постоянство плотности и неизменность объема в окрестности одной и той же движущейся материальной частицы m.

В отличие от первого частного случая, когда приравнивается к нулю полная производная плотности по времени, во втором частном виде уравнения неразрывности среды рассматривается равенство нулю частной производной плотности по времени

Физический смысл этого уравнения – постоянство плотности окрестностей разных материальных частиц, попадающих при движении в одну и ту же пространственную точку n.

Условие называется условием стационарного изменения плотности в окрестности материальных частиц.

При описании движения сплошной среды в общем виде уравнение неразрывности композитной среды либо в эйлеровых координатах

либо в лагранжевых координатах должно быть записано для каждой α-среды.

Уравнение движения.

Рассмотрим движение α-среды в объеме Ω_а с замкнутой поверхностью , находящейся во взаимодействии с другими β-средами.

Механическое движение этого объема определяется действием инерционных, массовых ρ_αF_α сил и поверхностных сил. Равнодействующая всех внешних объемных сил равна

В теории ОМД основную роль обычно играют не массовые, а поверхностные силы. Если на каждый элемент поверхности dS c нормалью n_α действуют сила то равнодействующая всех поверхностных сил равна .

- уравнение движения сплошного тела М_α.

Уравнение движения для всего композитного тела получается также из теоремы о глвном векторе всех действующих на объем внешних сил

Вследствие произвольности объема из этого уравнения имеем уравнение движения композитного материала:

Таким образом, уравнение движения имеет универсальной вид как для всей композитной среды, так и для каждой ее составляющей. Только в первом случае параметры уравнения описывают движение всей композитной среды в общем объеме , а во втором – движение отдельной α – среды в индивидульном объеме Ω_α.

В дальнейшем все соотношения, имеющие в указанном смысле универсальный вид, будем записывать для всей композитной среды, полагая, что для описания движения в индивидуальном объеме какой-либо компоненты такой среды параметрам этих соотношений достаточно приписать соответствующий рассматриваемой компоненте индекс.

Частный вид уравнения движения, когда инерционные силы пренебрежимо малы

называется уравнением равновесия. При обработке давлением инерционные силы становятся значимыми лишь в высокоимпульсивных процессах. Кроме того, для большинства процессов ОМД массовые силы имеют несущественное значение. Если они не принимаются во внимание, то уравнение равновесия принимает вид, наиболее часто применяемый в решениях задач теории ОМД: .

9. З-н сохранения момента количества движения. З-н парности касательных напряжений.

Date: 2015-09-05; view: 1505; Нарушение авторских прав