Тензор напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений

Определение тензора. Действия над тензорами 1ого и 2ого ранга.

Тензоры второго ранга. Разложение тензора на девиатор и сферическую часть. Диагонализация тензора и его инварианты.

Методы анализа тензорных полей. Типы дифференциальных операторов и операций. Привести примеры.

Типы механического движения в теории малых деформаций. Физический смысл компонент тензора малых деформаций. Формула Коши в кинематике

Главные деформации, их определение. Физический смысл девиатора и сферической части тензора малых деформаций.

Физический смысл компонент тензора скоростей деформаций. Формула Стокса. Главные скорости деформаций. Физический смысл девиатора и сферической части.

Тензор напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений.

Тензор напряжений – тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела.

Таким образом, - компоненты тензора напряжений Т_σ. Это тензор второго ранга. Поскольку , то только шесть из девяти компонент независимы, т. е. тензор напряжений симметричен. Для случая всестороннего сжатия (например, гидростатического) сдвиговые напряжения не возникают, и при равны нулю. В случае, если по нормали к граням действует одинаковая сила P, тензор напряжений приобретает вид

.

(4.9)

Если возникает линейное напряжение вдоль какой-либо оси, от нуля будет отличаться только компонента напряжения s, направленная вдоль данной оси.

Важной характеристикой напряженного состояния твердого тела является коэффициент мягкости, равный отношению максимальных упругих касательных напряжений к максимальным нормальным. Коэффициент мягкости численно равен отношению . Чем больше коэффициент мягкости, тем жестче напряженное состояние, т. е. тем больше сопротивление тела развитию пластической деформации. Касательные напряжения способствуют развитию пластической деформации, а нормальные – разрыву межатомных связей, т. е. хрупкому разрушению твердых тел.

Под действием внешних сил, приложенных к телу, атомы могут смещаться из своих положений равновесия, и их взаимное расположение будет изменяться. При малых воздействиях искажения обратимы, и после снятия внешней нагрузки тело приобретает прежнюю форму. Такие деформации называются упругими. О них далее и пойдет речь.

Будем рассматривать только бесконечно малые деформации и одинаково обозначать адиабатические и изотермические деформации (изменения соответственно при постоянной энтропии и температуре). Небольшие различия между значениями изотермических и адиабатических упругих констант часто бывают несущественны при комнатной температуре и ниже.

При деформации твердое тело меняет свою форму и объем, т. е. меняются расстояния между его точками. Рассмотрим две какие-либо близкие точки тела, расстояние между которыми до одномерной деформации было , а после - . Тогда величина относительной деформации будет , или в предельном случае деформация в каждой точке будет характеризоваться величиной

.

(4.10)

Таким образом, деформация в любой точке есть производная смещения по координате и представляет собой безразмерную величину.

Напряженное состояние в окрестности материальной частицы m деформируемого тела М характеризуется тензором напряжений Т_σ. В зависимости от размерности N пространства N, где расположено тело М, различают объемное (N=3), плоское (N=2) и линейное (N=1) напряженные состояния.

Тензор напряжений поворотом множества координат можно привести к диагональному виду

, где главные напряжения σ_i определяется по стандартной процедуре и удовлетворяют соотношение σ₁≥ σ₂≥ σ₃.

Величину называют средним напряжением. С точностью до знака эта величина совпадает с гидростатическим давлением (р=- σ₀) в окрестности материальной частицы.

Любой тензор второго ранга можно разложить на девиатор D_a и сферическую часть S_a:

D_a+S_a, где S_a=а₀Т_δ среднее значение тензора для N -мерного пространства. Отсюда следует, что среднее напряжение σ₀ тензора определяет сферическую часть тензора напряжений

S_σ=σ₀Т_δ.

Оставшаяся часть называется девиатором напряжений

.

Сферическая часть тензора напряжений характеризует ту часть состояния, которая вызывает изменение объема в окрестности материальной частицы m. Девиаторная часть тензора напряжений характеризует ту часть напряженного состояния, которая вызывает изменение формы окрестности.

Среди трех инвариантов

Девиатора напряжений в теории ОМД чаще всего используется второй, с помощью которого вычисляют интенсивность касательных напряжений