Теорема умножения вероятностей

Остановимся более подробно на следующем примере иллюстративного характера. Допустим, что студент из 30 билетов успел выучить билеты с 1-го по 3-й и с 28-го по 30-й. На экзамен он пришел одиннадцатым, и оказалось, что к его приходу остались только билеты с 1-го по 20-й (событие А). Вероятность события В ={студент получил выученный билет} без дополнительной информации о том, что событие А произошло, может быть вычислена по классическому определению с Ω={1,2,…,30}. Согласно формуле

При дополнительной информации (событие А произошло) множество возможных исходов А состоит из 20 элементарных исходов, а событие В вместе с А наступает в 3 случаях. Следовательно, в рассматриваемом примере естественно определить условную вероятность P(B\A)=P_A(B)= события В при условии, что событие А произошло, как .

Теорема 2 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)

Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 1. Тогда для вычисления P_A(В) множеством возможных исходов нужно считать т_А (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В (т_АВ). Следовательно,

откуда следует утверждение теоремы.