Устойчивость и качество импульсных систем

Построим область устойчивости в плоскости комплексной величины z. Воспользуемся методикой D -разбиения и, меняя частоту w от - ¥ до + ¥, получим границу z = e^Ts = e ^{j w T} - в виде окружности единичного радиуса, внутрь которой попадает левая полуплоскость комплексной величины s. Следовательно, для устойчивости, все корни-полюсы замкнутой системы F(z) должны находится внутри этой окружности.

Итак, для описанных с помощью аппарата Z -преобразования импульсных систем, всилу изменившегося вида области устойчивости и периодичности их ЧХ W (e ^{j w T} ), разработанные для непрерывных систем критери устойчивости (кроме критерия Найквиста и корневого годографа), а так же наиболее эффективные методы коррекции и синтеза (использующие ЛАЧХ & ЛФЧХ) не приемлемы.

Для преодоления этого затруднения используют v-преобразование, которое отражает окружность единичного радиуса на мнимую ось комплексной величины v, с помощью подстановки:

.

Физически подстановка означает переход к ДУ заменой в РУ элементов чистого запаздывания грубой аппроксимацией - одним фазосдвигающим звеном.

Вторая формула для перехода в область псевдочастот l получена из соотношения:

,

отметим так же, что:

.

v-Домен и домен псевдочастоты l используют редко, поскольку для большинства импульсных и цифровых систем частота дискретизации 1/ T выбирается в 6...10 раз больше частоты среза. В таком случае выполняется условие w_ср T <2, вследствие чего в полосе системы псевдочастота l и частота w практически совпадают. Поэтому обходятся доменом обычных частот, а для переходов используют формулы "Билинейного преобразования":

.

Резюме:

1. После v-преобразования, используя ПФ W (v) или F(v) можно применять обычные (в основном алгебраические) критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.
2. После последующего перехода в область псевдочастот (подстановка v = j l T /2) вид ПФ W (j l T /2) и F(j l T /2) становится пригоден для применения медодов, использующих ЛАЧХ & ЛФЧХ.
3. Качество импульсной системы может оцениваться построением кривой переходного процесса, что при использовании ПФ F(z) сравнительно легко.
4. Оценку качества в установившихся режимах удобно выполнять нахождением коэффициентов для разложения ошибки в ряд:

,

которые являются коэффициентами разложения ПФ F _x (z) в ряд Маклорена по степеням s:

,

где: z = e ^Ts.

Date: 2015-09-19; view: 519; Нарушение авторских прав