Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

sⁿ + A ₁ s^{n -1}+...+ A_n = 0. (1)

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A ₁. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

(s^{n -2}+ C ₁ s^{n -3}+...+ C_{n -3}) (s ²+ B ₁ s + B ₂) = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

• B ₂ определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.
• B ₁ определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием z, следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B ₁ и B ₂ может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

m = b/a = 2p / ln(1/(1-z)), где: a = - B ₁/2; b = (B ₂- B ₁²/4)^1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(...) (s ³+ B ₁ s ²+ B ₂ s ¹+ B ₃) = 0,

которое нужно представить в виде:

(s + C ₁₁) (s ²+ B ₁₁ s + B ₂₂) = 0.

Вещественные части корней будут равны a₁ = a_2,3 = - B ₁/3. Требования к B ₁₁ и B ₂₂ уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

B ₁= C ₁₁+ B ₁₁, B ₂= B ₂₂+ B ₁₁ C ₁₁, B ₃= C ₁₁ B ₂₂.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.