Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерыв­ное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе ин­вестиционных решений, в финансовом проектировании. С по­мощью непрерывных процентов удается учесть сложные зако­номерности процесса наращения, например использовать изме­няющиеся по определенному закону процентные ставки.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила ро­ста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть по­стоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста. Как было показано выше, при дис­кретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

5= Р

w¹

т

Чем больше /и, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т -»» имеем

5= /Mim 1 +-Ч ^ВАЛ

где е — основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискрет­ной, обозначим силу роста как 6. Теперь можно записать

S = Ре^Ьп. (3.26)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная:умма равна конечной величине, зависящей от первоначальной:уммы, срока наращения и силы роста. Последняя представля­ет собой номинальную ставку сложных процентов при т -**>

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки нара­щения находятся в функциональной зависимости. Из равенст­ва множителей наращения

(1 + 0^я = е^Ьп следует:

6 = 1п(1 + 0, (3.27)

/=€*-!. (3.28)

ПРИМЕР 3.16. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Нара­щенная сумма составит

S = 2 000 000 х е⁰'¹*⁵ = 3297744,25 руб.

Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно нара­щению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим

/zzeo¹ - 1 =0,10517.

В итоге получим

S = 2 000 000(1 + 0.10517)⁵ = 3297744,25 руб.

Дисконтный можитель на основе силы роста (математиче­ское дисконтирование) находится элементарно, для этого ре­шим (3.26) относительно Р:

Р = Se-*ⁿ. (3.29)

Дисконтный множитель, как видим, равен е"*".

ПРИМЕР 3.17. Определим современную стоимость платежа из примера 3.11 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. руб.:

Р = 5000е-°'^12х5 = 2744,

Р = 5000(1 -0,12)⁵ = 2639.

Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во вре­мени, следуя некоторому закону, представленному в виде не-

прерывной функции времени: 6, = /(*). Тогда наращенная сум­ма и современная величина определяются как

S - Ре⁹; /> «5е •.

Функция времени может быть самого различного вида. Рас­смотрим только два ее варианта — линейную и экспоненциаль­ную. Начнем с линейной функции:

6,-6 + at,