Неопределенный интеграл

Функция F(x),имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.Основные интегралы

∫x^μdx=x^μ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫a^xdx=a_x/lna +C

∫e^xdx=e^x+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos²x=tgx+C

∫dx/sin²x=-ctgx+C

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫Ln хdх.

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда , v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C

Интегрирование методом замены переменных

Пример

Найти у= ∫ (1+ 2x)² dx

Заменим l+2x=z, Тогда

y=0,5∫z²dz

Таким образом, интеграл сведен к табличному виду Воспользовавшись формулой, найдем

Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем