Поверхности в пространстве

Поверхность, образованная движением прямой , которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом прямая называется направляющей цилиндра, а прямая его образующей.

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Пусть в плоскости лежит некоторая линия , урав­нение которой

. (21)

Построим цилиндр с образующими параллельными оси и направляющей .

Теорема. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси , имеет вид (21), т. е. не содержит координаты .

Возьмем на цилиндре любую точку . Она лежит на какой-то образующей. Пусть точка пересечения этой образующей с плоскостью . Следовательно, точка ле­жит на кривой и ее координаты удовлетворяют уравнению (21).

Но точка имеет такие же абсциссу и ординату , что и точка . Следовательно, уравнению (21) удовлетворяют и координаты точки , так как оно не содержит . И так как это любая точка цилиндра, то уравнение (21) и будет уравнением этого цилиндра.

Теперь ясно, что есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси , а с образующими, параллельными оси . Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс

в плоскости , то соответствующая цилиндрическая поверхность назы­вается эллиптическим цилиндром.

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение . Уравнение определяет в пространстве па­раболический цилиндр. Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр.

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат , и .