Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; т. D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l ₁ = 0,4 м; l ₂ = 1,2 м; l ₃ = 1,4 м; l ₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0−4) или в табл. К3б (для рис. 5−9); при этом в табл. К3а ω₁ и ω₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DE против хода часовой стрелки, а на рис. 9 – по ходу часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от т. В к т. b (рис. К3.5−К3.9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если т. А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если т. В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость v _B определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a=60º; b=150º; g=90º; j=30º; q=30º; AD = DB; l ₁ = 0,4 м; l ₂ = 1,2 м; l ₃ = 1,4 м; w₁ = 2 с^-1; e₁ = 7 с^-2 (направление w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: v _B, v _E, w₂, a _B, e₃.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б).

2. Определяем v _В. Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v _В, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что т. В принадлежит звену АВ и одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Т. Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость т. D, принадлежащей одновременно стержням АВ и DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это т. С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из т. А и В ( перпендикулярен стержню 1). По направлению вектора определяем направление вращения стержня АВ вокруг МЦС − С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему т. D и C₃, и направлен в сторону вращения. Величину v _D найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₃D и C₃B, заметим, что прямоугольный, т. к. острые углы в нем равны 30º и 60º, и что C₃B=АВsin30º=0,5AB=BD. Тогда является равносторонним и C₃B = С₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как т. Е принадлежит DE и одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС − С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление вращения стержня DE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону вращения этого стержня. Из рис. К3б видно, что Составив теперь пропорцию, находим (5)

4. Определяем w₂. Т. к. МЦС стержня 2 известен (т. С₂), то

(6)

5. Определяем Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию т. В. По данным задачи можем определить где численно:

(7)

Вектор направлен от т. А к т. О₁, направлен перпендикулярно АО₁, вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством (8)

Изображая на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя w₃ с помощью построенного МЦС − С₃ стержня 3, получим:

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения a _B и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси. Чтобы определить a _B, спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим . (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

а _В = 0,72 м/с². (11)

Т. к. а _В > 0, то, следовательно, вектор направлен, как показано на рис. К3б.

6. Определяем e₃. Чтобы найти e₃, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что = -3,58 м/с². Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3б.

Теперь из равенства = e₃ l₃ получим

Ответ: u_В = 0,46 м/с; u_Е = 0,46 м/с; w₂ = 0,67 с^-1; а_В = 0,72 м/с²; e₃ = 2,56 с^-2.