Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Б. Полярная и цилиндрическая координатные системы
В ситуациях, когда для любого момента времени известны расстояние от начала координат до рассматриваемой точки и направление на нее (например, движение торпеды по отношению к выпустившей ее неподвижной подводной лодке и т.п.), удобно воспользоваться полярной координатной системой (см. рис.1.4). На рисунке и - единичные орты осей полярной системы, а ее положение по отношению к плоской декартовой координатной системе определяется углом поворота радиуса-вектора точки М. В этом случае . (1.11) Очевидно, что в формулы для скорости и ускорения точки М будут входить производные от единичных ортов полярной системы, так как они, в общем случае, изменяют свое направление. Запишем выражения, связывающие единичные орты полярной и декартовой координатных систем (см. рис.1.4): . Возьмем производные по времени от этих выражений: (1.12) Взяв первую производную от выражения (1.11) по времени, получим вектор скорости точки М как (1.13) здесь - проекция скорости на радиус-вектор точки М, а - на ось, ему перпендикулярную. Величину скорости рассчитываем по формуле . (1.14) Взяв производную по времени от выражения (1.13), получим вектор ускорения точки М как (1.15) здесь - проекция ускорения на радиус-вектор точки М, а - на ось, ему перпендикулярную. Величину ускорения рассчитываем по формуле . (1.16) Цилиндрическая координатная система получается при наращивании полярной координатной системы ортогональной осью аппликат (см. рис.1.5).
В таком случае выражение для радиуса-вектора точки М будет (1.17) Очевидно, что наличие ортогональной составляющей движения соответственно изменит выражения для скорости и ускорения: ; ; (1.18) ; . ПРИМЕР 1.2. Судно двигается по прямой с постоянной скоростью . Гребной вал, ось которого параллельна поверхности воды, вращается с постоянной угловой скоростью . Диаметр гребного винта . Найти траекторию, скорость и ускорение точки М – конца лопасти гребного винта (см. рис.1.6).
РЕШЕНИЕ. Расчет кинематических характеристик точки М выполним в цилиндрической координатной системе, ось z которой совпадает с осью гребного вала. Учитывая постоянство скорости судна и равномерность вращения вала, законы изменения координат записываются достаточно просто: . Тогда . Траектория точки М – винтовая линия, принадлежащая горизонтальному цилиндру диаметром , ось которого совпадает с осью гребного вала. Время одного оборота вала шаг винтовой линии . Замечание: рассмотренная задача могла быть решена и в декартовой координатной системе, но решение оказалось бы более трудоемким. 1.2.в. Криволинейная координатная система * В общем случае в каждой точке пространства координат нужно записывать свою тройку базисных векторов . Совокупность независимых параметров объединяют одним понятием – криволинейные координаты, при этом векторы являются их локальным базисом, в общем случае изменяющимся при переходе от одной точки пространства к другой. В рамках настоящего пособия ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат ( при ). Именно такими были все координатные системы, рассмотренные нами ранее. Уравнения движения в криволинейных координатах имеют вид (1.19) Радиус-вектор любой точки пространства является непрерывной функцией координат : (1.20) Например, в декартовой координатной системе его проекции запишутся так: (1.21) Изменяя в (1.21) только одну из обобщенных координат, получают уравнение координатной линии (см. рис.1.7). В каждой фиксированной точке пространства пересекаются три такие линии:
Линия Линия Линия Касательные к координатным линиям, направленные в сторону возрастания координат, называют координатными осями в данной точке. Аналогично, изменяя сразу две координаты при фиксированной третьей, получают координатные поверхности (рис.1.8). Орт координатной оси находят путем деления вектора производной (он направлен по касательной к координатной линии) на его модуль . Для точек координатной линии () вектор в декартовой координатной системе имеет вид , поэтому , а для модуля вектора (1.22)
Орт равен , (1.23) Коэффициенты являются функциями криволинейных координат и называются коэффициентами Ляме (дифференциальными параметрами Ляме). Для прямолинейных осей . В ортогональных системах координат коэффициенты Ляме представляют собой множители при дифференциалах координат в выражениях дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если элементарное перемещение равно , то квадрат дифференциала дуги равен , или, с учетом (1.23) . Следовательно, дифференциалы дуг координатных линий () имеют вид . (1.24) Часто коэффициенты Ляме находятся именно из этих соотношений. Формулы (1.23) позволяют находить косинусы углов между криволинейными координатными осями и осями декартовых координат: . Для нахождения проекций скорости точки М на оси криволинейных координат возьмем производную по времени от ее радиуса-вектора : (1.25) где - обобщенные скорости. Согласно (1.23): . (1.26) Это выражение определяет разложение вектора скорости точки в локальном базисе криволинейных координатных осей: , (1.27) Модуль скорости находится как , а направление вектора скорости относительно координатных осей задается направляющими косинусами
Для проекций ускорения удобно воспользоваться представлением , Откуда . (1.28) Из равенства (1.25) следует: , (1.29) По определению полной производной здесь . (1.30) Подставляя в (1.28) значение из (1.29) и из (1.30), получим
, (1.31) Учитывая, что , получим и , Запишем вектор ускорения точки М: . Тогда проекции ускорения на оси криволинейной системы координат будут , (1.32) Модуль ускорения точки равен , (1.33) а направляющие косинусы соответственно Зависимости (1.27) и (1.32) позволяют определять проекции скорости и ускорения в любой системе координат с ортогональным базисом (полярная, цилиндрическая, сферическая координатные системы и т. д.), целесообразный выбор которой зависит от вида конкретной задачи. Пусть, например, движение точки задано в сферической (рис.1.9) координатной системе, т.е заданы функции . Требуется найти выражения для скорости и ускорения точки.
Связь декартовых координат со сферическими имеет вид Из формул (1.22) найдем коэффициенты Ляме Из формул (1.27) найдутся проекции скорости и ее модуль как . Затем по формулам (1.32) определяем проекции ускорения точки М на криволинейные координатные оси
и модуль ускорения как квадратный корень из суммы квадратов его проекций. Аналогичные зависимости для цилиндрической координатной системы читателю предлагается вывести самостоятельно и сравнить с формулами, полученными в пункте 1.2.б.
Date: 2015-09-03; view: 584; Нарушение авторских прав |