Пример решения задания Д3

Механическая система (рис. Д3) состоит из сплошного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R₂ и r₂ (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f).Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.

Рис. Д3

Под действием силы F = f(S), зависящей от перемещения S точки её приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент M₂ сил сопротивления.

Д а н о: m₁ = 4 кг; m₂ = 10 кг; m₃ = 2 кг; R₂ = 0,2 м; r₂ = 0,1 м; f = 0,1; M₂ = 0,6 Hм; F = 2 (1 + 2S) H.

О п р е д е л и т ь: скорость V_C1центра масс катка, когда S = S₁ = 1 м.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные момент сопротивления М₂, реакции , , и силы трения F и .

Для определения V_C1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы:

T – T₀ = åA . (1)

Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

T = T₁ + T₂ + T₃. (2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 3 – поступательно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим

; ; (3)

Все входящие сюда скорости следует выразить через искомую V_C1. Приняв во внимание, что точка К₁ – мгновенный центр скоростей катка l, и обозначив радиус катка через r₁, получим

(4)

Кроме того, входящие в уравнение (3) моменты инерции имеют значения

I_C1 = 0,5m₁× ; I₂ = m₂× . (5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), получим кинетическую энергию системы:

(6)

Найдём сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С₁ пройдет путь S₁, для чего учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4), т.е.

В результате получим

Работа остальных сил равна нулю, так как точка К ₁, где приложены и - мгновенный центр скоростей, точка О, где приложены и , неподвижна, а реакция перпендикулярна перемещению груза 3. Тогда окончательно

(sin 30° + f cos 30°). (7)

При числовых значениях, которые имеют заданные величины, равенство (8) дает

С учетом значений заданных величин получим величину работ всех сил:

. (8)

Подставив выражения (6) и (8) в уравнение (1) и учитывая, что Т₀ = 0, получим

27× = 8,96.

Отсюда находим искомую скорость.

О т в е т: V_С1= 0,58 м/c. 4.

Задание Д4. Принцип Даламбера для механической системы

Условие задания. Вертикальный невесомый вал АК (рис. Д4.0–Д 4.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 5 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в столбце 2 табл. Д4 (АВ = ВD = DE = EK = a = 1 м). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l ₁ = 0,8 м с точечной массой m₁ = 6 кг на конце и тело 2 массой m₂ = 10 кг с центром масс С. Тело 2 имеет форму сплошного однородного тонкого диска (рис. Д4.0, Д4.1, Д4.4, Д4.5); сплошной тонкой квадратной пластины (рис. Д4.2, Д4.3); однородного тонкого кольца (рис. Д4.6, Д4.7); однородного горизонтального стержня (рис. Д4.8, Д4.9). Точка крепления стержня 1 и уровень крепления тела 2 указаны в столбцах 3 и 4 табл. Д4. Угол наклона α стержня 1 – в столбце 5, расстояние b от центра масс С тела 2 до оси вала – в столбце 6. Определить величины реакций подпятника и подшипника.

Указания. При решении задачи Д4 следует принять, что центр масс С тела 2 и стержень 1 лежат в плоскости чертежа. Также следует учесть, что когда силы инерции частиц тела 2 имеют равнодействующую , то численно R^И = m a _C, где a _C – ускорение центра масс С тела 2.

Рис. Д4.0	Рис. Д4.1
Рис. Д4.2	Рис. Д4.3
Рис. Д4.4	Рис. Д4.5
Рис. Д4.6	Рис. Д4.7
Рис. Д4.8	Рис. Д4.9

Т а б л и ц а Д4