Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Упражнения. 1) Найти градиент в точке X0=( , , )
|
|
3.4.1. Для функции f (x 1, x 2, x 3):
1) Найти градиент в точке X 0=(
, 
, 
).
2) Построить матрицу Гессе в точке X 0.
3) Найти первый и второй дифференциалы в точке X 0.
4) Найти стационарные точки.
5) Исследовать на выпуклость.
а) f (x 1, x 2, x 3)=-2 
-5 
-2 
+4 х 1 х 2+4 х 2 х 3, X 0=(1, -1, 1);
б) f (x 1, x 2, x 3)=5 +13 +5 +4 х 1 х 2+8 х 2 х 3, X 0=(1, -2, 3);
в) f (x 1, x 2, x 3)= -2 +5 -2 +4 х 1 х 2+4 х 2 х 3, X 0=(-2, 2, -3);
г) f (x 1, x 2, x 3)= -3 +9 +3 +2 х 1 х 2+8 х 1 х 3+4 х 2 х 3, X 0=(3, -1, 2).
Решение. а.1) Найдём частные производные первого порядка:
=-4 x 1+4 x 2, 
=-10 x 2+4 x 1+4 x 3, 
=-4 x 3+4 x 2;
(X 0)=-4×1+4×(-1)=-8, (X 0)=-10×(-1)+4×1+4×1=18, (X 0)=-4×1+4×(-1)=-8.
Поэтому градиент
Ñ f (X 0)= 
.
а.2) Для построения матрицы Гессе необходимо найти частные производные второго порядка:
=-4, 
=-10, 
=-4,
= 
=4, 
= 
=0, 
= 
=-4.
Таким образом, матрица Гессе
H (X)= 
-
- постоянная. Поэтому
H (X 0)= .
а.3) Первый дифференциал:
df (X)= 
= dx 1+ dx 2+ dx 3=
=(-4 x 1+4 x 2) dx 1+(4 x 1-10 x 2+4 x 3) dx 2+(4 x 3-4 x 2) dx 3.
То есть df (X 0)= (X 0) dx 1+ (X 0) dx 2+ (X 0) dx 3. При этом (X 0)=-8, (X 0)=18, (X 0)= -8. Поэтому в точке X 0=(1, -1, 1) имеем
df (X 0)=-8 dx 1+18 dx 2-8 dx 3.
Второй дифференциал:
d 2 f (X)= 
=
= 
+ 
+ 
+2 
dx 1 dx 2+2 
dx 1 dx 3+2 
dx 2 dx 3
Поэтому
d 2 f (X 0)=-4 -10 -4 +8 dx 1 dx 2+8 dx 2 dx 3.
а.4) Стационарными точками являются решения системы
которая в нашем случае имеет вид
Так как определитель системы
D= 
=-32
Не равен нулю, то система имеет единственное решение (0, 0, 0), то есть (0, 0, 0) - стационарная точка функции.
а.5) Для исследования выпуклости исследуем на знакоопределённость матрицу Гессе функции. Имеем угловые миноры:
D1=-4<0, D2=24>0, D3=-32<0 -
- знакочередующиеся, начиная с отрицательного. Следовательно, H (X) - отрицательно определённая, то есть функция - вогнутая.
Ответ: 1) Ñ f (X 0)=(-8, 18, -8)Т - градиент в X 0=(1, -1, 1);
2) H (X 0)= 
- матрица Гессе в X 0=(1, -1, 1).
3) df (X 0)=-8 dx 1+18 dx 2-8 dx 3 - первый дифференциал в X 0=(1, -1, 1);
4) d 2 f (X 0)=-4 -10 -4 +8 dx 1 dx 2+8 dx 2 dx 3 второй дифференциал в X 0=(1, -1, 1);
5) функция выгнутая.
3.4.2. Доказать утверждение 3.3.1.
Date: 2015-09-03; view: 386; Нарушение авторских прав