Упражнения. 1) Найти градиент в точке X0=( , , )

3.4.1. Для функции f (x ₁, x ₂, x ₃):

1) Найти градиент в точке X ₀=(, , ).

2) Построить матрицу Гессе в точке X ₀.

3) Найти первый и второй дифференциалы в точке X ₀.

4) Найти стационарные точки.

5) Исследовать на выпуклость.

а) f (x ₁, x ₂, x ₃)=-2 -5 -2 +4 х ₁ х ₂+4 х ₂ х ₃, X ₀=(1, -1, 1);

б) f (x ₁, x ₂, x ₃)=5 +13 +5 +4 х ₁ х ₂+8 х ₂ х ₃, X ₀=(1, -2, 3);

в) f (x ₁, x ₂, x ₃)= -2 +5 -2 +4 х ₁ х ₂+4 х ₂ х ₃, X ₀=(-2, 2, -3);

г) f (x ₁, x ₂, x ₃)= -3 +9 +3 +2 х ₁ х ₂+8 х ₁ х ₃+4 х ₂ х ₃, X ₀=(3, -1, 2).

Решение. а.1) Найдём частные производные первого порядка:

=-4 x ₁+4 x ₂, =-10 x ₂+4 x ₁+4 x ₃, =-4 x ₃+4 x ₂;

(X ₀)=-4×1+4×(-1)=-8, (X ₀)=-10×(-1)+4×1+4×1=18, (X ₀)=-4×1+4×(-1)=-8.

Поэтому градиент

Ñ f (X ₀)= .

а.2) Для построения матрицы Гессе необходимо найти частные производные второго порядка:

=-4, =-10, =-4,

= =4, = =0, = =-4.

Таким образом, матрица Гессе

H (X)= -

- постоянная. Поэтому

H (X ₀)= .

а.3) Первый дифференциал:

df (X)= = dx ₁+ dx ₂+ dx ₃=

=(-4 x ₁+4 x ₂) dx ₁+(4 x ₁-10 x ₂+4 x ₃) dx ₂+(4 x ₃-4 x ₂) dx ₃.

То есть df (X ₀)= (X ₀) dx ₁+ (X ₀) dx ₂+ (X ₀) dx ₃. При этом (X ₀)=-8, (X ₀)=18, (X ₀)= -8. Поэтому в точке X ₀=(1, -1, 1) имеем

df (X ₀)=-8 dx ₁+18 dx ₂-8 dx ₃.

Второй дифференциал:

d ² f (X)= =

= + + +2 dx ₁ dx ₂+2 dx ₁ dx ₃+2 dx ₂ dx ₃

Поэтому

d ² f (X ₀)=-4 -10 -4 +8 dx ₁ dx ₂+8 dx ₂ dx ₃.

а.4) Стационарными точками являются решения системы

которая в нашем случае имеет вид

Так как определитель системы

D= =-32

Не равен нулю, то система имеет единственное решение (0, 0, 0), то есть (0, 0, 0) - стационарная точка функции.

а.5) Для исследования выпуклости исследуем на знакоопределённость матрицу Гессе функции. Имеем угловые миноры:

D₁=-4<0, D₂=24>0, D₃=-32<0 -

- знакочередующиеся, начиная с отрицательного. Следовательно, H (X) - отрицательно определённая, то есть функция - вогнутая.

Ответ: 1) Ñ f (X ₀)=(-8, 18, -8)^Т - градиент в X ₀=(1, -1, 1);

2) H (X ₀)= - матрица Гессе в X ₀=(1, -1, 1).

3) df (X ₀)=-8 dx ₁+18 dx ₂-8 dx ₃ - первый дифференциал в X ₀=(1, -1, 1);

4) d ² f (X ₀)=-4 -10 -4 +8 dx ₁ dx ₂+8 dx ₂ dx ₃ второй дифференциал в X ₀=(1, -1, 1);

5) функция выгнутая.

3.4.2. Доказать утверждение 3.3.1.