Множества в евклидовом пространстве

Если e - некоторое положительное число, то множество

O_e (X ₀)={ X Î R ^п | r (X, X ₀)<e}

называется e - окрестностью точки X ₀.

Так, в пространстве R ¹ e -окрестность точки X ₀, имеющей координату a - это интервал (a - e; a + e); в пространстве R ² e -окрестность точки X ₀, имеющей координаты (x ₀, y ₀), - это внутренность круга радиуса e с центром (x ₀, y ₀); наконец, в пространстве R ³ e -окрестность точки X ₀, имеющей координаты (x ₀, y ₀, z ₀), - это внутренность шара радиуса e с центром (x ₀, y ₀, z ₀).

Множество { X Î R ^п | r (X, X ₀)£ r } называется шаром с центром в точке X ₀ и радиусом r.

В пространстве R ¹ шар с центром в точке X ₀, имеющим координату a, и радиуса r - это отрезок [ a - r; a + r ]; в пространстве R ² шар с центром в точке X ₀, имеющим координаты (x ₀, y ₀), - это круг радиуса r с центром (x ₀, y ₀); наконец, в пространстве R ³ шар с центром в точке X ₀, имеющим координаты (x ₀, y ₀, z ₀), - это внутренность обычный геометрический шар радиуса r с центром (x ₀, y ₀, z ₀).

Точка X ₀ называется внутреннейточкой множества M Í R ^п, если она входит в M вместе с некоторой своей e -окрестностью O_e (X ₀): O_e (X ₀)Í R ^п.

Точка X ₀ называется граничнойточкой множества M Í R ^п, если каждая окрестность точки X ₀ содержит как точки из множества M, так и точки, не принадлежащие множеству M.

Множество всех граничных точек множества M называют границей этого множества.

Так, в пространстве R ¹ все точки интервала (a, b) являются внутренними точками отрезка [ a, b ], а концы отрезка являются граничными точками, и граница состоит из двух точек. В пространстве R ² граница полуплоскости {(x, y)| Ax + By + C ³0} состоит из прямой Ax + By + C =0.

Множество M Í R ^п называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Если все точки множества являются внутренними, то оно называется открытым.

Например, в R ¹ любой отрезок является замкнутым, а любой интервал - открытым. Также, шар S_r ={(x, y, z)| x ²+ y ²+ z ²£ r } в R ³ является замкнутым множеством, а внутренность O_r (O)={(x, y, z)| x ²+ y ²+ z ²< r } шара S_r - открытым.

Введём следующие обозначения: если a Î R, X =(x ₁, x ₂, …, x_n), Y =(y ₁, y ₂, …, y_n), то aX =(ax ₁, ax ₂, …, ax_n) и X + Y =(x ₁, x ₂, …, x_n)+(y ₁, y ₂, …, y_n)=(x ₁+ y ₁, x ₂+ y ₂, …, x_n + y_n).

Если X =(x ₁, x ₂, …, x_n), Y =(y ₁, y ₂, …, y_n) - две точки из R ^п, то множество всех точек Z =(z ₁, z ₂, …, z_n), таких, что

z ₁= ax ₁+(1- a) y ₁, z ₂= ax ₂+(1- a) y ₂, …, z_n = ax_n +(1- a) y_n, 0£ a £1,

называется отрезком. При этом X и Y называются концами отрезка, а сам отрезок обозначается через [ XY ]. Таким образом,

[ XY ]={ Z Î R ^п | Z = aX +(1- a) Y, 0£ a £1}

Множество M Í R ^п называется выпуклым, если для любых двух точек из M множеству M принадлежат и все точки отрезка с концами в этих точках. Другими словами, M выпуклое в R ^п множество, если для любых X и Y из M, любого числа a такого, что 0£ a £1, имеет место включение aX +(1- a) Y Î M.

Например,

2.2.1. Выпуклыми являются следующие множества:

1) {(x ₁, x ₂, …, x_n)Î R ^п | a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+…+ a_nx_n = b } - гиперплоскость в R ^п.

2) {(x ₁, x ₂, …, x_n)Î R ^п | a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+…+ a_nx_n £ b } - полупространство в R ^п.

Действительно, если точки X =(x ₁, x ₂, …, x_n) и Y =(y ₁, y ₂, …, y_n) удовлетворяют уравнению a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+…+ a_nx_n = b гиперплоскости, то имеем

a ₁(ax ₁+(1- a) y ₁)+ a ₂(ax ₂+(1- a) y ₂)+…+ a_n (ax_n +(1- a) y_n)=

= a (a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+…+ a_nx_n)+(1- a)(a ₁ y ₁+ a ₂ y ₂+…+ a_ny_n)= ab +(1- a) b = b,

то есть координаты произвольной точки Z =(ax ₁+(1- a) y ₁, ax ₂+(1- a) y ₂, …, ax_n +(1- a) y_n) отрезка [ XY ] удовлетворяют уравнению гиперплоскости.

Аналогично доказывается, что полупространство в R ^п является выпуклым.

2.2.2. Выпуклые множества обладают следующими свойствами:

1^о. Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым.

2^о. Если точки X ₁, X ₂, …, X_k принадлежат выпуклому множеству M и P = l ₁ X ₁+ l ₂ X ₂+…+ l_kX_k, l ₁³0, l ₂³0, …, l_k ³0, l ₁+ l ₂+…+ l_k =1, то P Î M.

Выпуклой оболочкой точекX ₁, X ₂, …, X_k называется множество

{ P | P = l ₁ X ₁+ l ₂ X ₂+…+ l_kX_k, l ₁³0, l ₂³0, …, l_k ³0, l ₁+ l ₂+…+ l_k =1}.

Таким образом, выпуклая оболочка точек является выпуклым множеством.

Множество называется ограниченным, если можно построить шар с конечным радиусом и центром в любой точке множества, содержащее данное множество. Угловойточкой множества называется точка, которая не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо различных точек этого множества.

Конечным многогранником в п -мерном пространстве называется ограниченное множество с конечным числом угловых точек, каждая точка которой является линейной комбинацией угловых.

Таким образом, из 2.2.1 и 2.2.2 вытекает

2.2.3. Множество решений смешанной линейной системы в R ^п образует выпуклое множество.

В случае, когда это множество конечное, оно является конечным многогранником. В случае, когда это множество M бесконечное, оно обладает следующими свойствами:

1^о. Множество M имеет конечное число угловых точек.

2^о. Множество M является замкнутым, границы которого являются гиперплоскостями в R ^{п - k} для некоторого k.

Такое множество назовём многогранником в R ^п. Таким образом,

2.2.4. Множество решений (смешанной) линейной системы с n неизвестными образует многогранник, который в случае системы линейных неравенств является п - мерным.