Последовательности

Последовательностью точек в R ^п называется функция f: N ® R ^п множества N натуральных чисел в некоторое множество точек из R ^п. При этом если f (k)= X_k, то X_k называется k - м членом последовательности и говорят, что последовательность состоит из точек X_k. Последовательность, состоящая из точек X_k, обозначается через { X_k }. Если { X_k } - последовательность в R ¹, то это - числовая последовательность.

Пределомпоследовательности { X_k } точек в R ^п называется точка X ₀, каждая e -окрестность которой содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Другими словами, точка X ₀ называется пределом последовательности { X_k }, если для любого e >0 существует k ₀Î N такое, что r (X_k, X ₀)< e для всех k > k ₀.

Если X ₀ является пределом последовательности { X_k }, то пишут X ₀= или X_k ® X ₀ при k ® .

2.3.1. Точка X ₀=(, , …, ) является пределом последовательности { X_k }, X_k =(, , …, ) тогда и только тогда, когда = , = , …, = .

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.