Выпуклость

Пусть функция y = f (X) определена на выпуклом множестве M Í R ^п. Она называется выпуклой (вогнутой) на M, если для любых точек A =(a ₁, a ₂, …, a_n), B =(b ₁, b ₂, …, b_n), принадлежащих M, и для любого действительного числа 0£ a £1 выполняется неравенство

f (C)£ af (A)+(1- a) f (B), (f (C)³ af (A)+(1- a) f (B))

где C =(aa ₁+(1- a) b ₁, aa ₂+(1- a) b ₂, …, aa_n +(1- a) b_n).

Переходя в определении выпуклой (вогнутой) функции к строгим неравенствами, мы получаем определения соответственно строго выпуклой (строго вогнутой) функции.

В случае, когда y = f (x) - функция одной переменной, геометрический смысл выпуклости функции заключается в том, что на множестве M Í R график функции располагается не выше (любой) секущей, проведённой через произвольные две точки (a, f (a)) и (b, f (b)) графика функции, где [ a, b ]Í M, а геометрический смысл вогнутости функции заключается в том, что на множестве M Í R график функции располагается не ниже (любой) секущей, проведённой через произвольные две точки (a, f (a)) и (b, f (b)) графика функции, где [ a, b ]Í M (рис.). Таким образом, выпуклость функции соответствует выпуклости функции вниз, а вогнутость - выпуклости вверх.

Аналогично, когда z = f (x, y) - функция двух переменных, то геометрический смысл выпуклости функции заключается в том, что на множестве M Í R ² график функции (некоторая поверхность) располагается не выше (любой) секущей, проведённой через произвольные две точки (a ₁, a ₂, f (a ₁, a ₂)) и (b ₁, b ₂, f (b ₁, b ₂)) графика функции, где { A =(a ₁, a ₂), B =(b ₁, b ₂)}Í M, а геометрический смысл вогнутости функции заключается в том, что на множестве M Í R график функции располагается не ниже (любой) секущей, проведённой через произвольные две точки (a ₁, a ₂, f (a ₁, a ₂)) и (b ₁, b ₂, f (b ₁, b ₂)) графика функции.

Ясно, что если функция f (X) является (строго) выпуклой (вогнутой), то функция - f (X) является (строго) вогнутой (выпуклой). Поэтому в дальнейшем можно из этих классов функций рассматривать, например, выпуклые функции.

Выпуклые функции обладают следующими свойствами:

1^о. Если f (X) - выпуклая функция на выпуклом множестве M, то всякая точка локального минимума является точкой её глобального минимума на M.

2^о. Если выпуклая функция достигает своего минимума в двух различных точках, то она достигает минимума во всех точках отрезка, соединяющего эти две точки.

3^о. Если f (X) - строго выпуклая функция на выпуклом множестве M, то она может достигать своего глобального минимума на M не более чем в одной точке.

Выпуклость функции можно определить по матрице Гессе:

если H (X)³0 для любого X Î R ^п, то функция выпуклая;

если H (X)>0 для любого X Î R ^п, то функция строго выпуклая.

3.3.1. Пусть значения переменных линейной функции f (x ₁, x ₂, …, x_n)= a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+…+ a_nx_n меняются пропорционально (a ₁, a ₂, …, a_n) с коэффициентом пропорциональности a. Тогда при росте a значение функции f (x ₁, x ₂, …, x_n) возрастает, а при убывании a оно убывает.