Определение собственных форм колебаний
Положение масс при свободном движении системы определяет ее форму в любой момент времени. Всегда можно задать такие начальные условия движения системы, чтобы колебания всех масс происходили только с одной частотой из спектра частот. Такие колебания и соответственные им формы называются главными или нормальными.
Обозначим амплитудные значения перемещений масс в главных формах колебаний по направлению инерционных сил I2 , I1, I3 соответственно Y 2, Y 1, Y 3 . Эти неизвестные перемещения должны удовлетворить следующим уравнениям:

(6.9)

Коэффициенты при неизвестных δ ik ранее найдены, они представляют собой перемещения от инерционных сил. Т. к. полученная системалинейная и однородная, то неизвестные Y 2, Y 1, Y 3 нельзя однозначно определить. Для нахожденияформы собственных колебаний, соответствующей частоте ω, разделим правые и левые части (6.9) на Y 1, и введем обозначение отношений ρ:
(6.10)
Т. к. количество неизвестных значений равно 2, а количество уравнений равно 3, то одно из уравнений)6.9) можно отбросить например 3 -е, тогда система примет следующийвид:
(6.11)

Отсюда для каждой частоты можно определить ρ1 ρ2 ρ3 =1.Рассмотрим случай ω1 = 0855 сек -1. Используя (6.7) уравнения (6.11)перепишем в виде:
(0,994-1,3679)-0,1532 ρ2+0,432 ρ3 = 0
-0,0766+(0,4872-1,3679) ρ2+δ23 т 3 ρ3 = 0
Получаем: ρ2 = - 01157; ρ3 = 0,802.
Амплитудные значения инерционных сил рис.6.7а определяются следующими формулами:

Разделим правые части на силу инерции 1-й массы, т. е. на величину и введя обозначения перемещения через ρ (рис. 6.7,б), построим вид эпюр изгибающих моментов / рис. 7в/. Если ρ отрицательное, то соответствующая ей сила инерции меняет направление (рис. 7,в). На рис. 6.7,г показаны изогнутые оси стержней. Это и есть главная форма, соответствующая частоте ω1=0,855 сек – 1.


Рисунок 6.7
Аналогично находим главную форму колебаний, соответствующую второй частоте ω2, т. к. ω2 = ω3, то вторая и третья формы будут близки друг к другу, т. е. практически совпадают, берем ω2 =1,593 сек – 1, составляем уравнения для ρ:
(0,994-0,394)-0,1532 ρ2+0,432 ρ3 = 0;
-0,0766+(0,4872-0,394) ρ2-0,09 ρ3 = 0.
Отсюда получаем: ρ2 = -0,7892; ρ3 =-1,6688.
На рис. 6.8 указаны приведенные инерционные силы (рис. 6.8,а), вид эпюры изгибающих моментов (рис. 6.8,б), главная форма собственных колебаний, соответствующая ω2 =1,593 сек – 1 (рис. 6.8,в).
Главные собственные формы должны удовлетворять свойству ортогональности, которые для систем с сосредоточенными массами имеют следующий вид:

Суммирование ведется по сосредоточенным массам. Ординаты “y” берутся непосредственно под сечениями, где находятся массы из главных форм колебаний. Для нашего случая 

2·11+4·0,7892·0,1157-2·0,802·1,6687=0.
Отсюда вытекает, что найденные главные формы ортогональны.


Рисунок 6.8
Date: 2015-09-03; view: 936; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|