Реакции сжато – изогнутых стержней

Таблица 2. 1

РЕАКЦИИ ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТ ЕДИНИЧНЫХ СМЕЩЕНИЙ

Таблица 2.2

Для стержней 2,4,5 V=0, т.к. отсутствуют продольные силы. Строим единичные эпюры М₁, М₂, М₃, используя таблицы 1 или 2. Эти эпюры представлены на рис. 3. Т.к. в стержнях 2,4 отсутствуют продольные силы, то в эпюре М₁ на этих участках линейная зависимость, аналогично и в стержне 5; на линейных участках берутся значения из таблицы 3.

а) б)

в)

Рисунок 2.3

Таблица 2.3 Значения специальных функций

Коэффициенты канонических уравнений (2.2) определяем статичес­ким путем.Т.к. коэффициенты I₁₁, I₁₂, I₁₃, I₂₂, I_23, представляют собой реакции моменты, то рассматриваем равновесие узлов в виде ∑M=0, рис.4 а, 4 б, 4 в, 4 г, 4 д, 4 е. Для нахождения коэффициента I₃₃, I₃₁, I₂₃, они представляют собой реакции силы, вырезаем элемент системы и рассматриваемого равновесие уравнения ∑Т=0, рис. 2.4,и;2.4,ж; 2.4, з.

Рисунок 2.4

И так, коэффициенты канонического уравнения имеют следующие выражения:

(2.4)

Перепишем определитель системы (2.2) в виде:

= 0 (2.5)

Выразим параметр V₁ через параметр V₃, используя выражение (2.4)

(2.6)

Выразим погонные жесткости , , , через :

(2.7)

Подставляя (2.7) в (2.5), сокращая на i₁, получаем после раскрытия /5/ следующее уравнение равновесия:

(2.8)

Подставляя значения h₁, h₂ и заменяя V₃=V, V₁=0,4V, перепишем (2.8) в виде:

(2.9)

И так, (2.9) представляет собой трансцендентное уравнение относительно критического параметра V. В дальнейшем необходимо найти решение этого уравнения.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ

Уравнение (2.9) является уравнением устойчивости, сложность нахождения корня этого уравнения состоит в том, что неизвестное входит как аргумент в тригонометрические функции tg и sin. Это уравнение можно решить приближенными методами, в частности, методом подбора, или воспользоваться стандартной программой на ЭВМ в пакете SSP по решению трансцендентного уравнения, причем необходимо найти один из минимальных корней. Для этого вначале выясним область нахождения корней уравнения (2.9), т. е. в каких пределах может изменяться параметр V. Средняя стойка рамы находится в условиях, когда верхний конец может смещаться по горизонтали (но смещению сопротивляется жесткость других стоек) и упруго поворачиваться (повороту сопротивляется жесткость ригеля), следовательно, критическая сила стойки рамы будет выше, чем для стержня, изображенного на рис. 5а, и ниже, чем для стержня, показанного на рис. 5б. Находим V для этих 2-х случаев:

Рисунок 2.5.

Для случая «а» ,

Для случая «б» ,

Таким образом, в нашем случае получается следующее:

Объединим в уравнении устойчивости /9/ некоторые члены, т.е. введем следующие обозначения:

Тогда (2.9) можно переписать в виде:

А – В = о или А= В.

Будем искать решение путем подбора, начальное значение критического параметра V берем сами. Возможность горизонтальных смещений уменьшает жесткость системы, поэтому целесообразно задаться значением V более близким к нижнему пределу, чем к верхнему. И так, задаемся начальным значением параметра V равным двум, т.е. V = 2,

тогда V = 0,4 V = 0,8.

По таблице /2/ находим специальные функции: , , , .

Подставляем эти значения в правую часть /10/, получаем следующие значения А и В:

Сравнивая эти значения А и В, видим, что А В, видим, что выбранное значение V не является корнем уравнения /I0/. B качестве следующего приближения для V задаемся следующими значениями: V=3. Аналогично по таблице 2 находим: 0,4 V =1,2; φ₂ (3)=0,6660; η₁(0,8)=0,7432; η₂(3)=0,0893; φ₄ (3)=0,8393. Подставляя в /10/, получаем:

А = 62,95, В = 4,0389.

А – В = 62,95 - 4,0389.

Отсюда видно, что А В. Сравнивая предыдущее приближение, видим, что расхождения между А и В становятся меньше. В качестве 3-го приближения берем V =4. По аналогии получаем А = - 6,01,а В = - 1,58. Как видно, значения А и В поменяли знак. Это означает, что корень находится в пределах от 3 до 4. В качестве следующего приближения берем V =3,5. Из таблицы 2 получаем: φ₂ (3,5)=0,5021; η₁(1,4)=0,208; η₂(3,5)=0,7751;

φ₄= 0,7751. Подставляя, получаем: А = 29,54; В= 1,47. Построим график изменения величин А и В, считая их меняющимися по прямолинейному закону в небольшом диапазоне V / 4 ÷ 3,5 /, рис. 2.6.

Рисунок 2.6.

Из графика видно, что точка пересечения двух линий является корнем уравнения /10/. И так, V = 3,93, проверим, является ли это значение корнем уравнения / 10 /. По таблице 2 находим, что η₁(1,57)=0,001; η₂(3,93= -0,579; φ₄(3,93)=0,703; φ₂(3,93)=0,34. Подставляем эти значения в /10/, получаем

А2.3 Программа для решения трансцендентного уравнения

КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ

В параграфе 2.2 приближенно получили критические параметры: V₃ =3,93; V₁ = 0,4; V = 1,572. Критический параметр нагрузки и критическая сила связаны между собой /6/, поэтому:

; .

Коэффициенты приведенных или свободных длин стоек рамы определяются следующим образом:

; .

Сами же приведенные или свободные длины элементов определяются через коэффициент приведения ; для левой стойки 1,825; для средней стойки 1,596. Коэффициенты приведения характеризуют условия закрепления стержней; если μ=1, то деформации стержня соответствуют случаю шарнирного опирания по двум концам; если μ=2, то случаю защемления одного конца стержня, другой конец - свободный; если μ = 0,7, то один конец защемлен, другой шарнирно оперт; если μ=0,5, то два конца стержня защемлены. Для нашего случая возможная форма потери устойчивости представлена на рис. 2.7.

Рис.2. 7 Форма потери устойчивости.

Для проверки устойчивости сжатых стержней необходимо знать гибкости стершей. Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции сечения называется гибкостью стержня: . Гибкость стержня характеризует снижение прочностных свойств конструкции при расчете на устойчивость. Зная гибкость стержня λ, можно по таблице 4 определить коэффициент продольного изгиба φ, который характеризует уменьшение нормального напряжения для сжатых стержней при потери устойчивости.

Таблица 2.4.

Условие устойчивости для стержня имеет вид:

,

где N - действующая сила продольная,

F - площадь поперечного сечения,

R - заданное расчетное сопротивление.

Так как стойка находится в лучших условиях, чем левая, начнем проверку устойчивости с левой стойки / μ₃<μ₁ /. По условию задачи левая стойка имеет следующие данные: 1 № 16

Вычисляя гибкость стержня:

По таблице 3 находим для найденной гибкости значение коэффициента φ = 0,55. Подставляем в условие устойчивости:

Отсюда видно, что заданное сечение левой стойки не удовлетворяет

условию устойчивости.

= 0,583; В= 0,6, расхождение составляет меньше 5%.