Метод перемещений. Уравнение устойчивости

Рассматриваем потерю устойчивости 1-го рода, т.е. полагаем, что до потери устойчивости нет изгиба стержней. Критическими зна­чениями внешней нагрузки считаем нагрузки, при которых происходит бифуркация, т.е. разветвление равновесных форм. В нашем случае бифуркации сопровождаются переходом системы из заданного прямолинейного состояния к изогнутому /деформированному/ состоянию. Исполь­зуем метод перемещений, выбираем основную систему путем наложения дополнительных связей препятствующих угловым и поступательным смещениям узлов. Для симметричных систем и нагрузок необходимо ис­пользовать симметричную основную систему, сгруппировав неизвестные, что позволит рассматривать отдельно симметричные и обратно-симметричные формы потери устойчивости и соответствующее им критические нагрузки. На рисунке 2 представлена основная система.

Неизвестные Z₁, Z₂ представляют углы поворота в связях 1 и 2, неизвестное Z₃ – поступательное перемещение по горизонтали, т. е. в направлении связи 3. запишем каноническое уравнение метода перемещений:

(2.1)

Рисунок 2. 2

Для случая осевой нагрузки свободные члены уравнений /I/ равны нулю, поэтому система /I/ годится к системе линейных одно­родных уравнений:

· = 0 (2.2)

В случае потери устойчивости 1-го родя стержни изгибаются» их деформаций должны быть отличны от нуля, поэтому неизвестные Z₁, Z₂, Z₃,

одновременно не могут быть равны нулю. Это выполнимо только тогда, когда дискриминант системы - (2.2) равен нулю, т.е.

=0 (2.3)

В уравнении (2.3) величина _iк представляет собой реакции по направлению «i» от единичных неизвестных Z₁, Z₂, Z₃. При наличии продоль­ных сил в стержнях _iк зависят от параметра нагрузки Р. И так уравнение (2.3) представляет собой уравнение устойчивости, из которо­го определяется параметр критической нагрузки.

Теперь распишем выражения коэффициентов iк через критические периметры. Для этого воспользуемся таблицами сжато-изогнутых стерж­ней при различных закреплениях. В таблице I представлены реакции стержней от единичных перемещений с учетом продольных сил. В таблице 2 представлены реакции стержней от единичных смещений без учета продольных сил. Критический параметр нагрузки равен , где - длина стержня, N -продольная сила, EI - жесткость стержня на изгиб. В таблице I функции представ­ляют следующие зависимости от параметра V:

Значения этих специальных функций φ_i, η₁ приведены в таблице 3.

Для дальнейшего упрощения выразим силу Р₂ через Р₁ жесткость I₂ через I ₁, т.е. Р₂= I,42 Р₁;I₂ = 0.93 I₁ . На рис.2.1 указана нумерация стержней, поэтому погонные жесткости стержней имеют вид:

; ; ; ;

Критические параметры для 1-го и 3-го стержней выражаются через продольные силы следующим образом:

; .