Иметь представление

1. о классах интегральных функций;

2. о применении интегрального исчисления к изучению векторных полей.

3. о “неберущихся” интегралах.

4. о связи курса с другими дисциплинами.

Знать: терминологию, основные понятия, теоремы, а именно: понятие первообразной и неопределенного интеграла; свойства и методы вычисления неопределенных интегралов; свойства определенного интеграла и его применение к решению геометрических и физических задач; основные свойства кратных интегралов и способы их вычисления или оценки; основные характеристики векторных полей (поток, циркуляция, ротор, дивергенция) и способы их вычисления.

Уметь:

1) Использовать полученные знания при освоение учебного материала последующих дисциплин.

2) Применить методы интегрального исчисления к отысканию физических и геометрических характеристик процессов.

3) Устанавливать границы применимости изученных методов.

4) Самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на опыт, приобретенный при изучении дисциплины “Интегральное исчисление”.

Иметь опыт:

1) Работы с учебной и справочной литературой.

2) Вычисления неопределенных интегралов

3) Вычисления или оценки определенных интегралов

4) Вычисления основных характеристик векторных полей

5) Применения методов, изученных в курсе “Интегральное исчисление” к решению задач физики.

Средства для достижения поставленных целей и задач дисциплины.

Для достижения целей, поставленных при изучении дисциплины, используется набор методических средств:

1. Лекции

2. практические занятия с опросом студентов и закреплением теоретического материала

3. индивидуальные и групповые консультации по теоретическим и практическим вопросам курса.

Проверка приобретенных знаний, навыков и умений осуществляется посредством опроса студентов, защиты индивидуальных домашних заданий, текущего и рубежног контролей и сдачи экзамена.

ΙΙ Содержание теоретического раздела дисциплины (34 часа)

Модуль I Неопределенный интеграл. (8 часов)

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных функций. Корни многочлена. Формулировка основной теоремы алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Простые рациональные дроби и их интегрирование. Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы конечного числа простых дробей (без доказательства).

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Модуль II Определенный интеграл.(6 часов)

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интегральной суммы Римана. Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывнойфункции, монотонной и ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.

Свойства определенного интеграла. Линейность и аддитивность определенного интеграла. Теорема о среднем. Теорема об оценке интеграла и интегрировании неравенств. Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур в декартовой и полярной системах координат. Определение и вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объемов тел. Общая схема применения определенного интеграла к решению прикладных задач.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Определение, свойства. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема сравнения.

Модуль III Кратные интегралы. (6 часов)

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл. Теорема существования, свойства. Сведение двойного интеграла от непрерывной функции к повторному интегралу. Теорема о замене переменных под знаком двойного интеграла.

Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Тройной интеграл, определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. Формулировка теоремы о замене переменных под знаком тройного интеграла. Цилиндрические и сферические координаты. Приложение кратных интегралов: вычисление объемов тел и площадей фигур, решение задач механики и физики.

Модуль IV Элементы векторного анализа. (14 часов)

Векторное поле. Векторные линии. Задача о вычислении работы силового поля. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла по координатам. Теорема Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Отыскание функции по ее полному дифференциалу.

Криволинейные интегралы по длине дуги. Определение, свойства, физический смысл, вычисление.

Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение, формула для вычисления. Геометрический и физический смысл.

Задача о вычислении потока векторного поля через поверхность. Определение, физический смысл, свойства и вычисление поверхностного интеграла по координатам. Теорема и формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Теорема о существовании и вычислении дивергенции. Свойства дивергенции, векторная запись формулы Остроградского-Гаусса.

Соленоидальное поле. Векторная трубка. Основное свойство соленоидального векторного поля. Ориентация поверхности и направление обхода замкнутого контура. Теорема и формула Стокса. Циркуляция и ротор векторного поля. Механический смысл ротора, его свойства. Векторная запись формулы Стокса.

Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка в скалярном и векторных полях. Потенциальные и безвихревые поля. Дифференциальные уравнения второго порядка.

III Содержание практического раздела дисциплины (42 часа)

Модуль 1 Неопределенный интеграл.(12 часов)

-Понятие первообразный и неопределенный интеграл. Основные свойства. Непосредственное интегрирование.

-Метод подстановки. Интегрирование квадратного трехчлена. Интегрирование по частям. Циклические интегралы.

-Интегрирование рациональных функций.

-Интегрирование тригонометрических выражений. Реккурентные формулы.

-Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.

Модуль 2 Определенный интеграл.(8 часов)

- Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле.

-Вычисление площадей плоских фигур.

-Применение определенного интеграла к вычислению длин дуги и объема.

-Несобственные интегралы.

-Рубежный контроль.

Модуль 3 Кратные интегралы.(10 часов)

- Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

-Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

-Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

-Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.

-Приложение кратных интегралов в задачах физики и геометрии.

-Рубежный контроль.

Модуль 4 Криволинейные интегралы.(4 часа)

-Вычисление криволинейных интегралов первого и второго родов.

-Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Модуль 5 Поверхностные интегралы(4 часа)

- Поверхностные интегралы первого и второго родов.

-Формула Остроградского-Гаусса.

Модуль 6 Элементы теории поля.(6 часов)

- Виды векторных полей. Поток и дивергенция векторного поля.

-Формула Стокса. Циркуляция ротор векторного поля.-Рубежный контроль.

IV Программа самостоятельной работы студента (77 часов)