Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций сводят с помощью подходящих замен к интегралам от рациональных функций.

Рассмотрим некоторые из возможных замен переменных, позволяющие свести интегралы от иррациональных функций к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы вида , где R - рациональная функция от иррациональных выражений вида: .

В данном случае необходимо применить подстановку , где n общий знаменатель дробей . Тогда .

Пример 4.28. Найти .

Выполняем замену переменной, находим

.

II. И нтегралы вида .

В этом случае необходимо применить подстановку , где n – общий знаменатель дробей .

Пример 4.29. Найти .

Подстановка . Отсюда , ,

, .

.

III. Три подстановки Эйлера для интеграла , где R - рациональная функция, .

1. Первая подстановка Эйлера .

Примем знак + перед и возведем в квадрат. Получим

.

Тогда - рациональное выражение и интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

Пример 4.30. Найти .

Применим подстановку .

Тогда .

.

=

, где .

2. Вторая подстановка Эйлера имеет вид

Если принять знак + перед , то после возведения в квадрат получим

. .

Таким образом, и dx будут рациональными выражениями и интеграл будет от рациональной функции.

3. Третья подстановка Эйлера используется в случае, когда квадратный трехчлен под корнем имеет вещественные корни a и b

.

Подстановка имеет вид .

.

Пример 4.31. Найти .

; ;

;

; . . =

.