Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы четырех типов.

I. Интеграл вида . Необходимо в знаменателе выделить полный квадрат. Затем после замены переменной интеграл примет вид табличного интеграла.

Пример 4.17. .

Пример 4.18.

.

II. Интеграл вида . Данный интеграл сводится к интегралу первого типа. Для этого в числителе подынтегральной функции нужно сформировать производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Найдем производную . Затем интеграл разбить на сумму двух интегралов, первый из которых равен логарифму квадратного трехчлена, а второй является интегралом первого типа.

.

Пример 4.19.

.

III. . Также как в интеграле первого типа, в квадратном трехчлене выделим полный квадрат, а затем сделаем замену переменной.

IV. . Данный интеграл сводится к интегралу третьего типа. Для этого в числителе подынтегральной функции нужно сформировать производную квадратного трехчлена , стоящего под корнем в знаменателе. Интеграл разбить на сумму двух интегралов, первый из которых равен квадратному корню, а второй является интегралом третьего типа.

+ .

Пример 4.19.

.

Пример 4.20.

.