Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если

,

где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица .

Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле

,

где - алгебраическое дополнение к элементу .

Внимание! Алгебраические дополнения, которые вычисляются к элементам строки, записываются в столбец.

Если , то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица , т.е.

,

при этом ее определитель .

Для невырожденных матриц и выполнены соотношения

,

.

Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:

или .

Если матрица − квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, они решаются разными способами.

При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе - справа, т.е.

, (5)

. (6)

►Пример 3. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; .

Решение.

Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. , если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы :

Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:

Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу .

,

◄

При вычислениях множитель рекомендуем оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.

Date: 2015-09-02; view: 646; Нарушение авторских прав