Упражнения. Системы линейных уравнений

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

Системы линейных уравнений

Основные понятия.

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, – несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы:

– матрица коэффициентов при неизвестных,

– матрица-столбец свободных членов,

– матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения , а решение (9) в виде матрицы-столбца . Иногда для экономии места в ответах упражнений будем его записывать в виде матрицы-строки.

Матрица коэффициентов называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает, что надо выяснить, совместна ли система, а в случае совместности – найти все ее решения