Ранг матрицы. Рангом матрицы (обозначение: или ) называется порядокотличного от нуля минора этой матрицы при условии

Рангом матрицы (обозначение: или ) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто б азисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к эквивалентной, имеющей треугольный вид, что позволяет легко определить ее ранг.

►Пример 4. Найти ранг матрицы .

Решение. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом “ ”, над котором указаны действия, проводимые со строками (см. пример 2). Преобразуем матрицу:

Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄

При преобразовании матрицы мы действовали по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, он называется методом Гаусса.