Основные теоремы и формулы операционного исчисления

В качестве исходной формулы для дальнейших выводов возьмем формулу

, (2.1)

определяющую преобразование Лапласа.

Функция вещественного независимого переменного , стоящая в формуле (2.1) под знаком интеграла Лапласа, называется начальной функцией или оригиналом; функция комплексного независимого переменного называется изображением функции .

, ,

, ( ,

показывающей, что функция является изображением.

Стрелка в этих символических формулах своим острием всегда должна быть направлена к оригиналу.

Иногда для изображения связи между оригиналом и изображением пользуются символическими формулами

и

.

Изображения имеют только те функции, для которых имеет смысл интеграл Лапласа (2.1).

Примером функции, не имеющей изображения, может служить функция . Точно так же не всякая функция комплексного переменного может рассматриваться как изображение некоторой функции вещественного переменного. Например, не имеет оригинала функция , так как полюсы этой функции распределяются по всей вещественной оси. То есть на плоскости нет ни одной прямой, параллельной мнимой оси, справа от которой эта функция была бы регулярной.

Мы будем рассматривать только такие начальные функции , которые удовлетворяют трем условиям:

1) при ,

2) при ,

где и - некоторые положительные постоянные числа,

3) на любом конечном отрезке для функции выполняются условия Дирихле.

Кроме того, всегда будем считать, что в формуле (1)

;

при этих условиях интеграл Лапласа, определяющий функцию , будет сходиться (и притом равномерно), во всей полуплоскости, ограниченной прямой . Функции, удовлетворяющие всем этим условиям, называются «изображенными по Лапласу».