Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Преобразование Лапласа и формула обращенияСтр 1 из 6Следующая ⇒ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1.1. Интеграл Фурье Пусть в промежутке функция удовлетворяет условиям Дирихле, а именно: а) ограничена на этом отрезке; б) кусочно-непрерывна на нем (имеет конечное число точек разрыва первого рода); в) кусочно-монотонная (в частности, имеет лишь конечное число экстремумов). Тогда, как известно из теории тригонометрических рядов, функция может быть на этом отрезке представлена сходящимся к ней тригонометрическим рядом . (1.1) По теореме Дирихле: 1) в точках непрерывности сумма ряда равна значению функции; 2) в точках разрыва сумма ряда равна , а на концах промежутка , то есть при и равна . Коэффициенты ряда (1.1) определяются по формулам Эйлера-Фурье: (1.2) Так как косинус есть функция четная, а синус – функция нечетная, то , , формулу (1.1) можно записать в виде или, с учетом формул (1.2), , откуда . (1.3) Обозначим , (1.4) приведем формулу (1.3) к виду: . (1.5) Если в промежутке функция абсолютно интегрируема, т.е. , (1.6) где - конечное число, то переходя в равенстве (1.5) к пределу при и замечая, что , получаем формулу: , или . (1.7) Интеграл, стоящий в правой части равенства (1.7), называется интегралом Фурье. Замечая, далее, что (1.8) (т.к. - является нечетной функцией аргумента ) преобразуем формулу (1.7) , откуда . (1.9) Интеграл, стоящий в правой части формулы (1.9), называется интегралом Фурье в комплексной форме. 1.2. Преобразование Лапласа и формула обращения Докажем теперь, что если функция не интегрируема абсолютно, удовлетворяет условиям: , (1.10) Где и - некоторые постоянные положительные числа, то при (11.10а) функцию (1.10б) можно представить интегралом Фурье: . (1.10в) В самом деле, если условия (1.10) и (1.10а) выполняются, то Таким образом, в интервале функция оказывается абсолютно интегрируемой, что и доказывает возможность представления ее в этом интервале интегралом Фурье (1.10в). Заменяя в равенстве (1.10в) на (формула (1.10б)): и умножая обе части этого равенства на , получим , обозначим . (1.11) Так как при ; при , то последняя формула для принимает вид: , (1.12) это преобразованный интеграл Фурье. Если положить: , (1.13) То . (1.14) В операционном исчислении формула (1.13) является основной. Формула эта, в правой части которой стоит так называемый интеграл Лапласа, определяет преобразование Лапласа, при помощи которого функция вещественного независимого переменного преобразуется в функцию комплексного независимого переменного . Функцию называют начальной функцией или оригиналом, а функцию , получаемую из при помощи преобразования Лапласа, изображением функции . Легко доказать, что, если функция удовлетворяет условиям Дирихле и условиям (1.10), то изображение представляет собой функцию, регулярную при всех значениях комплексного независимого переменного , удовлетворяющих неравенствам (1.10а), то есть регулярную по всей полуплоскости, расположенной справа от прямой .
Формула (1.14), в правой части которой стоит так называемый интеграл обращения, определяет преобразование обратное преобразованию Лапласа, то есть преобразование, при помощи которого функция комплексного переменного преобразуется в функцию вещественного независимого переменного .
|