Теорема (разложение определителя по строке или столбцу)

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = ai1Ai1 + ai2Ai2 +... + ainAin (i = )

или j- го столбца

d = a1jA1j + a2jA2j +... + anjAnj (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя меняет лишь его знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю

4. Общий множитель всех элементов строки (столбцов) можно выносить за знак определителя или, иначе, при умножение строки (столбца) матрицы на некоторое число ее определитель умножается на это число.

5. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj (j =), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой

строки, умноженные на одно и то же число.