Определение определителя 3-го порядка

Вопрос №1: Матрицы и действия с ними

Матрицей порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m =n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний. Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю называется диагональной. Диагональная матрица, все элементы которой на главной диагонали равны единице, называется единичной. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах (с одинаковыми индексами).

Сложение матриц.

При сложения, должны быть равны порядки матриц.

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в_{12 _}

а₂₁ а₂₂ в₂₁ в₂₂ ^_

а₁₁+ в₁₁ а₁₂ + в₁₂

а₂₁+в₂₁ а₁₂ + в₁₂

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Умножение матриц на число.

а₁₁ а₁₂ ва₁₁ ва₁₂

в а₂₁ а₂₂ = ва₂₁ ва₂₂

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

Умножение матриц друг на друга.

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в_{12 _}

а₂₁ а₂₂ в₂₁ в₂₂ ^_

а₁₁в₁₁+ а₁₂ в₂₁ а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂

а₂₁ в₁₁+ а₂₂ в₂₁ а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂

Вопрос №2:Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры. Алгебраические дополнения. Определитель n-го порядка. Теорема о разложении определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителей.

Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель (детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.

Порядок определителя -порядок соответствующей матрицы.

Определение определителя 2-го порядка.

а₁₁ а_{12 _}

а₂₁ а₂₂ ^_ а₁₁ а₂₂ - а₂₁ а₁₂

а₁₁ а₂₂ - главная диагональ

а₂₁ а₁₂ - побочная диагональ

Определение определителя 3-го порядка.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ +а₃₁ а₃₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ - а₂₃ а₃₂ а₁₁ - а₂₁ а₁₂ а₃₃

а₃₁ а₂₃ а₃₃

Замечание. Указанное здесь правило называется правилом

треугольников (если мысленно соединить линиями множители

во 2-м, 3-м, 5-м, 6-м слагаемых, то получим треугольники).

Для нахождения определителя 3-го порядка можно приме-

нять еще одно мнемоническое правило, так называемое правило Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца и составить сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которых затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали:

Минором элемента а_ij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент а_ij

а_ij занимает четное место, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.

Алгебраическим дополнением (А_ij) элемента а_ij называется минор этого элемента взятый с "+" если а_ij - четное и с "-", если а_ij - нечетное.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Определителем n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов произвольной строки на их алгебраическое дополнение.