Свойства векторного произведения. Антикоммутативность: [a × b] = –[b × a]

Антикоммутативность: [a × b] = –[b × a].

Дистрибутивность: [a × (b + c)] = [a × b] + [a × c].

Сочетательность относительно скалярного множителя: k · [a × b] = [(k · a) × b] = [a × (k · b)].

Смешанное произведение: a · [b × c] = [a × b] · c.

Векторный квадрат вектора всегда является нулевым вектором: [a × a] = 0. Поэтому, когда говорят о «квадрате вектора» без уточнения типа перемножения, имеют в виду скалярный квадрат (квадрат модуля вектора).

16. Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Проекция вектора на ось обозначается через a_l или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,

(2)

Если - углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

(3)

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

(4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Свойства.

Координаты вектора с началом в точке A(х₁; у₁; z₁) и концом в точке В(х₂; у₂; z₂):

Сумма векторов