Кинематическая энергия манипулятора

Зная скорость произвольной точки каждого звена манипулятора, найдём кинетическую энергию i -го звена.

Обозначим через кинетическую энергию i -го звена (i =1, 2, …, n). Пусть кинетическую энергию элемента массы dm i -го звена. Тогда:

. (10-1)

Здесь вместо скалярного произведения используется оператор (след матрицы ), что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции i -го звена.

Подставляя в выражение (10-1) значение из равенства (9-20), получим выражение для кинетической энергии элемента массой dm:

(10-2)

Матрица характеризует положение точки i -го звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты .

Данная матрица одинакова для всех точек i -го звена и не зависит от распределения массы в этом звене, также как и . Таким образом:

. (10-3)

Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инерции i -го звена:

. (10-4)

Преобразуя выражения, получим:

, (10-5)

где однородные координаты центра масс i -го звена в i -й системе координат;

- тензор инерции, где i, j, k принимают значения x _i, y _i, z _i (оси i -ой системы координат), а - символ Кроникера.

Формулу (6-26) можно также записать в виде:

. (10-6)

Здесь и j, k =1, 2, 3, а - радиус вектор центра масс i -го звена в системе координат i -го звена. Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна:

. (10-7)

Отметим, что величина J _i (i =1, 2,…, n) зависит только от распределения массы i -го звена в i -й системе координат и не зависит ни от положения, ни от скорости звеньев. Это позволяет однажды вычислив матрицу J _i, использовать полученное значение в дальнейшем для вычисления кинетической энергии манипулятора.