Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Затухающие колебанияв реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).
Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости: . Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: или . Отсюда получим (16) – это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено , . Найдем корни характеристического уравнения , соответствующего уравнению (16): . (17) Если (случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид: . (18) В решении (18) обозначено: . Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С 1 и С 2. Решение (18) можно записать в виде: . (19) График функции (19) показан на рис. 7.
Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле , (20) где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что . Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний: . Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.
13. Случай апериодического движения (n > k) Если (случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17) являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:
. (21)
Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С 1 и С 2. Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.
Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия: . При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда ; кривая 2 соответствует случаю, когда ; кривая 3 соответствует случаю, когда . Во всех трех примерах принято, что x 0 > 0. 14. Случай апериодического движения (n = k) Если (это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17) , то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид: . (22) Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С 1 и С 2. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим . Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.
|