Дослiдження руху невiльної матерiальної точки в осях натурального тригранника

Розглянемо рух матерiальної точки маси m по заданiй нерухомiй iдеально гладенькiй поверхнi під дією активних сил (рис. 7.2). Прикладом такого руху може бути рух кульки в криволiнiйнiй трубцi. Рух цiєї невiльної матерiальної точки в векторнiй формi запишеться у виглядi рiвняння (7.4). В проекцiї на осi натурального тригранника - дотичну τ, головну нормаль n i бiнормаль b до кривої S – одержимо:

(7.13)

В цьому випадку реакцiя в’язi перпендикулярна до заданої кривої, тобто розташована в площинi Mbn.

Рiвняння (7.13) називаються диференцiальними рiвняннями криволiнiйного руху невiльної матерiальної точки в проекцiях на осi натурального тригранника або рiвняннями у формi Ейлера.

Друге рiвняння системи рiвнянь (7.13) показує, що реакцiя в’язi при русi (динамiчна реакцiя) залежить не тiльки вiд вигляду в’язi i прикладених активних сил, як в статицi, але й вiд швидкостi руху.

Рiвняння (7.13) бiльш зручнi за рiвняння (7.10) i (7.12), бо вони дозволяють розв’язувати задачi про визначення закону руху точки i реакцiї в’язi незалежно одна вiд одної. Дiйсно, перше рiвняння не включає невiдому реакцiю i дозволяє визначити шляхом iнтегрування швидкiсть точки i закон руху точки вздовж заданої кривої, тобто S = S (t); два iнших рiвняння дозволяють знайти складовi реакцiї N_n i N_b. Але рiвняння в декартових координатах можна одержати i без припущення про стацiонарнiсть в’язi, тому вони є бiльш загальними.

Якщо рух матерiальної точки вiдбувається по заданiй iдеально гладенькiй кривiй i на матерiальну точку дiє активна сила , що лежить з цiєю кривою в однiй площинi, то реакцiя в’язi направлена по нормалi до кривої i лежить з нею в однiй площинi. В цьому разi рiвняння (7.13) набувають вигляду:

(7.14)

Рiвняння в формi Ейлера можна використати i в тому випадку, коли матерiальна точка рухається по заданiй нерухомiй шершавiй кривiй. При цьому необхiдно добавити проекцiю сили тертя F_{τ теp} = μN.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §7 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 31.1, 31.3, 31.4, 31.5, 31.6;

2) № 31.9, 31.10, 31.12, 31.13, 31.14, 31.16, 31.20, 31.22, 31.23, 31.24, 31.25;

3) № 31.17, 31.28, 31.29, 31.30, 31.33, 31.34.

Рекомендується розв’язати також задачі № 8.51, 8.54, 8.58, 8.59, 8.60 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.

§8. Диференцiальнi рiвняння вiдносного руху матерiальної точки